Primjer 6. – Spregnuti spremnici (interaktivni sustav spremnika)
Obradit ćemo primjer interaktivnih sustava spremnika te ćemo
pretpostaviti da je protok između dva spremnika funkcije razlike pritiska
između njih. S obzirom da imamo tri povezana spremnika diferencijalna
jednadžba će biti trećeg reda.
Slika 6.1 Interaktivni sustav spremnika
Slika 6.1 nam prikazuje tri serijski povezana spremnika. Svaki od tih
spremnika ima jedan nezavisan ulazni tok (q
1
, q
2
, q
3
). Prvi i drugi
spremnik imaju dva izlazna toka, a treći spremnik ima samo jedan izlazni
tok. Izlazni tokovi q
11
, q
21
i q
31
koji slobodno istječu iz spremnika 1, 2 i 3
ovise o visini stupca tekućine u odgovarajućem spremniku. Pobliže rečeno
tok q
11
ovisi o visini h
1
, izlazni tok q
21
ovisi o visini h
2
, dok tok q
31
ovisi o
visini stupca tekućine spremnika 3. Za razliku od prvog spremnika koji
ima jedan ulazni tok, fluidni spremnici 2 i 3 imaju dva. Pri tome je svaki
od tih tokova q
12
i q
22
istovremeno izlazni tok jednog spremnika i ulazni
tok drugog spremnika. Oni međusobno povezuju dva spremnika koja
omeđuju i njihov iznos ovisi o razlici visina stupca tekućine dva susjedna
spremnika.
Matematički model interaktivnog fluidičkog sustava
Kod modeliranja fluidičkih sustava uvijek se najprije kreće od zakona
kontinuiteta koji kaže da je brzina promjene visine tekućine u spremnika
jednaka razlici ulaznih i izlaznih tokova tog spremnika. Možemo proširiti
diferencijalne jednadžbe tako da izvedemo izraze za zavisne tokove
primjenom Toricellijeve formule pa dobivamo sljedeće:
A
1
·
!
"
!
!#
= q
1
– q
12
– q
11
= q
1
– A
12
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ (ℎ
$
− !ℎ
%
)!
&&
!
– A
11
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ ℎ
$
!
(6.1)
A
2
·
!"
"
!#
= q
2
+ q
12
– q
21
– q
22
= q
2
+ A
12
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ (ℎ
$
− !ℎ
%
)!
&&
– A
21
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ ℎ
%
– A
22
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ (ℎ
%
− !ℎ
'
)!
&&
(6.2)
A
3
·
!"
#
!#
= q
3
+ q
22
– q
31
= q
3
+ A
22
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ (ℎ
%
− !ℎ
'
)!
&&
– A
31
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ ℎ
'
(6.3)
Diferencijalne jednadžbe koje smo dobili su nelinearne, da bi ih mogli
riješiti potrebno ih je linearizirati oko neke točke. Nama je najzanimljivija
točka stacionarnog stanja, odnosno točka u kojoj nema više promjena
razina tekućine u spremnicima. Ta točka ne ovisi o presjeku spremnika
već ovisi samo o njegovoj visini tekućine. Dakle tu ćemo točku dobiti kada
vrijedi jednakost jednadžbe 6.4.
!"
!
!#
=
!"
"
!#
=
!"
#
!#
= 0 (6.4)
q
1
– A
12
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ (ℎ
$
− !ℎ
%
)!
&&
!
– A
11
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ ℎ
$
= 0
(6.5)
A
12
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ (ℎ
$
− !ℎ
%
)!
&&
= q
1
– A
11
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ ℎ
$
(6.6)
Iz jednadžbe 6.5 ćemo izvesti čemu nam je jednak izlazni tok q
12
, a
potom dobiveni izraz 6.6 uvrstiti u slijedeću jednadžbu 6.7.
q
2
+ A
12
!
·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ (ℎ
$
− !ℎ
%
)!
&&
– A
21
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ ℎ
%
– A
22
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ (ℎ
%
− !ℎ
'
)!
&&
= 0
(6.7)
A
22
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ (ℎ
%
− !ℎ
'
)!
&&
= q
2
+ A
12
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ (ℎ
$
− !ℎ
%
)!
&&
– A
21
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ ℎ
%
(6.8)
A
22
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ (ℎ
%
− !ℎ
'
)!
&&
= q
1
+ q
2
– A
11
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ ℎ
$
– A
21
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ ℎ
%
(6.9)
Iz jednadžbe 6.7 ćemo izlučit izraz za tok q
22
koji će nam poslužit za
jednadžbu 6.10.
q
3
+ A
22
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ (ℎ
%
− !ℎ
'
)!
&&
– A
31
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ ℎ
'
= 0
(6.10)
Sređivanjem prethodnih jednadžbi dobivamo izraze za h
1
, h
2
i h
3
.
q
1
– A
12
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ (ℎ
$
− !ℎ
%
)!
&&
!
– A
11
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ ℎ
$
= 0 /
2
(6.11)
q
1
2
– A
12
2
· (
2 ∙ 𝑔! ∙ (ℎ
$
− !ℎ
%
)!)
&&
!
– A
11
2
!
· (
2 ∙ 𝑔! ∙ ℎ
$
)!
= 0 (6.12)
A
12
2
·
(
ℎ
$
− !ℎ
%
)
+ A
11
2
!∙ ℎ
$
!
=
(
!
"
%)*
(6.13)
(
A
12
2
+ A
11
2
!) ∙ ℎ
$
!
=
(
!
"
%)*
+ A
12
2
!∙ ℎ
%
(6.14)
ℎ
$
!
=
(
!
"
%)*&+&,
!!
"
-&,
!"
"
.
+
,
!"
"
,
!!
"
-&,
!"
"
!∙ ℎ
%
(6.15)
q
2
+ A
12
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ (ℎ
$
− !ℎ
%
)!
&&
– A
21
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ ℎ
%
– A
22
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ (ℎ
%
− !ℎ
'
)!
&&
= 0
(6.16)
q
2
+ q
1
– A
11
!
·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ ℎ
$
!
– A
21
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ ℎ
%
– A
22
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ (ℎ
%
− !ℎ
'
)!
&&
= 0 /
2
(6.17)
A
11
!· (2 ∙ 𝑔! ∙ ℎ
$
)!
+ A
21
!· (2 ∙ 𝑔! ∙ ℎ
%
)
+ A
22
!· (2 ∙ 𝑔! ∙ (ℎ
%
− !ℎ
'
)
&&
= q
2
2
+ q
1
2
(6.18)
A
11
!∙ ℎ
$
!
+ A
21
!∙ ℎ
%
+ A
22
!∙ (ℎ
%
− !ℎ
'
)
&&
=
(
!
"
%)*
+
(
"
"
%)*
(6.19)
ℎ
%
!
=
(
!
"
%)*&+&,
"!
"
-&,
""
"
.
+
(
"
"
%)*&+&,
"!
"
-&,
""
"
.
!
+
,
""
"
,
"!
"
-&,
""
"
!∙ ℎ
'
-
,
!!
"
,
"!
"
-&,
""
"
∙ ℎ
$
(6.20)
q
3
+ A
22
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ (ℎ
%
− !ℎ
'
)!
&&
– A
31
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ ℎ
'
= 0 (6.21)
q
3
+ q
1
+ q
2
– A
11
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ ℎ
$
– A
21
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ ℎ
%
– A
31
!·
#
2 ∙ 𝑔! ∙ ℎ
'
= 0 /
2
(6.22)
A
11
!· (2 ∙ 𝑔! ∙ ℎ
$
)!
+ A
21
!· (2 ∙ 𝑔! ∙ ℎ
%
)
+ A
31
!· (2 ∙ 𝑔! ∙ ℎ
'
)
= q
3
+ q
1
+ q
2
(6.23)
ℎ
'
!
=
(
!
"
%)*&)&,
#!
"
+
(
"
"
%)*&)&,
#!
"
!+!
(
#
"
%)*&)&,
#!
"
!
–
,
"!
"
,
#!
"
!∙ ℎ
%
–
!
,
!!
"
,
#!
"
∙ ℎ
$
64.24)
Ekvivaletna shema ovako lineariziranog modela glasi:
Slika 6.2 Ekvivalentna električna shema fluidičkog sustava
Koristeći se shemom možemo zapisati linearne jednadžbe u Laplaceovom
području pa dobivamo sljedeće izraze:
q
1
(s) = s · C
f1
· Δp
1
(s)
+
$
&
/
$!"
· ( Δp
1
(s) – Δp
2
(s)) +
0&)&1&
/
$!!
· Δp
2
(s)
(6.25)
q
2
(s) = s · C
f2
· Δp
2
(s)
+
$&
/
$""
· ( Δp
2
(s) – Δp
3
(s)) +
$&
/
$"!
· Δp
3
(s)
(6.26)
q
3
(s) = s · C
f3
· Δp
3
(s) +
$&
/
$#!
· Δp
3
(s) (6.27)
Znamo da je hidrostatski tlak, tlak uzrokovan težinom samog fluida
jednak p
H
=
ρ!
· g · h. Ako to primijenimo nad prihodnim jednadžbama
dobivamo:
q
1
(s) = s · C
f1
· φ · g · h
1
(s)
+
0&)&1&
/
$!"
· ( h
1
(s) – h
2
(s)) +
0&)&1&
/
$!!
· h
2
(s)
(6.28)
q
2
(s) = s · C
f2
· φ · g · h
2
(s)
+
0&)&1&
/
$""
· ( h
2
(s) – h
3
(s)) +
0&)&1&
/
$"!
· h
3
(s)
(6.29)
q
3
(s) = s · C
f3
· φ · g · h
3
(s) +
0&)&1&
/
$#!
· h
3
(s) (6.30)
Cilj nam je prikazati prijenosnu funkciju u matričnom obliku, zato ćemo
visine stupca tekućine staviti na jednu stranu, a tokove sa drugu stranu
jednadžbe.
q
1
(s) = h
1
(s) · ( s · C
f1
· φ · g
+
0
&)&1&
/
$!"
) + h
2
(s) · (
0&)&1&
/
$!!
–
0&)&1&
/
$!"
)
(6.31)
q
2
(s) = h
2
(s)
· ( s · C
f2
· φ · g +
0&)&1&
/
$""
) + h
3
(s) · (
0&)&1&
/
$"!
–
0&)&1&
/
$""
)
(6.32)
q
3
(s) = h
3
(s) · (s · C
f3
· φ · g +
0&)&1&
/
$#!
) (6.33)
Prikazat ćemo u matričnom obliku jednadžbe.
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
(%s·C
%&
·φ·g%+
'(·(*(
+
!"#
%) (%
'(·(*(
+
!""
%–%
'(·(*(
+
!"#
%) 0
0 (%s·%C
%,
·φ·g+
'(·(*(
+
!##
%) (%
'(·(*(
+
!#"
%–%
'(·(*(
+
!##
%)
0 0 (%s·C
%-
·%φ·%g+
'(·(*(
+
!$"
%)
%%
⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
%·%
2
ℎ
&
%
ℎ
,
ℎ
-
4
%
= 2
𝑞
&
𝑞
,
𝑞
-
4
(6.34)
Možemo iskoristiti izraze za fluidički otpor i kapacitivnost 3.1 i 3.2 u
prethodno dobivenoj matrici:
!
"
"
"
"
#
$%&'(
!
)%
"
!"#
#
#·#%#
&
!"#
%* $%
"
!""
#
#·#%#
&
!""
%+%
"
!"#
#
#·#%#
&
!"#
%* ,
, $%&'%(
'
)%
"
!##
#
#·#%#
&
!##
%* $%
"
!#"
#
#·#%#
&
!#"
%+%
"
!#"
#
#·#%#
&
!##
%*
, , $%&'(
(
)%
"
!$"
#
#·#%#
&
!$"
%*
%%
-
.
.
.
.
/
%'%
0
1
!
%
1
'
1
(
2
%
= 0
3
!
3
'
3
(
2 (6.35)
Ako se podsjetimo, zadatak nam je bio odrediti kako će se mijenjati visine
u pojedinim spremnicima ako mijenjamo ulazne tokove q
1
, q
2
i q
3
. Zato
ćemo upotrijebiti slijedeću matricu da izvedemo izraze za promjenu
visine. Time dobivamo krajnji rezultat kojeg ćemo iskoristit u
programskom alatu VisSim-u.
Promjena visine h
1
glasi:
h
1
(s) ·
(
!s · A
$
+!
,
.!"
"
&)&1&
(
.!"
!)
= q
1
(s) – h
2
(s) ·
(!
,
.!!
"
&)&1&
(
.!!
!–!
,
.!"
"
&)&1&
(
.!"
!)
(6.36)
!"
!
+#.
!#
·
A
$
+
ℎ
$
(t) ·
,
.!"
"
&)&1&
(
.!"
= q
1
(t) - h
2
(t) ·
,
.!!
"
&)&1&
(
.!!
+ h
2
(t) ·
,
.!"
"
&)&1&
(
.!"
(6.37)
!"
!
+#.
!#
=
2$&+3.&
4
!
–
h
2
(t) ·
,
.!!
"
&)&1&
4
!
&)&(
.!!
+ h
2
(t) ·
,
.!"
"
&)&1&
4
!
&)&(
.!"
– h
1
(t) ·
,
.!"
"
&)&1&
4
!
&)&(
.!"
(6.38)
promjena visine h
2
:
h
2
(s) · 0
!s ·!A
%
+!
,
.""
"
&)&1&
(
.""
!
1 = q
2
(s)
–
h
3
(s) ·
(!
,
."!
"
&)&1&
(
."!
!–!
,
."!
"
&)&1&
(
.""
!)
(6.39)
!"
"
+#.
!#
·
A
%
+
ℎ
%
(t) ·
,
.""
"
&)&1&
(
.""
= q
2
(t)
–!
h
3
(t) ·
,
."!
"
&)&1&
(
."!
+ h
3
(t) ·
,
.""
"
&)&1&
(
.""
(6.40)
!"
"
+#.
!#
=
2%&+3.&
4
"
–
h
3
(t) ·
,
."!
"
&)&1&
4
"
&)&(
."!
+ h
3
(t) ·
,
."!
"
&)&1&
4
"
&)&(
.""
– h
2
(t) ·
,
.""
"
&)&1&
4
"
&)&(
.""
(6.41)
dok je promjena visine h
3
jednaka slijedećem izrazu:
h
3
(s) ·
(!s · A
'
+!
,
.#!
"
&)&1&
(
.#!
!)
= q
3
(s) (6.42)
!"
#
+#.
!#
·
A
'
= q
3
(t)
–!
h
3
(t) ·
,
.#!
"
&)&1&
(
.#!
(6.43)
!"
#
+#.
!#
=
2'&+3.&
4
#
–
h
3
(t) ·
,
.#!
"
&)&1&
4
#
&)&(
.#!
(6.44)
Modeliranje sustava u VisSim-u i grafički prikaz odziva
VisSim je simulacijski program za analizu i sintezu sustava automatskog
vođenja. Karakterizira ga intuitivno grafičko sučelje, veliki broj sastavnih
elemenata, od osnovnog bloka do složenih optimizacijskih struktura.
Slika 6.3 Modeliranje sustava u VisSim-u
Slika 4.3 prikazuje simulaciju postavljenog sustava. Simulacija je
prikazana na temelju jednadžbi 6.38, 6.41 i 6.44 koje opisuju o čemu
ovisi promjena visine pojedinog spremnika.
0.4 1/X
*
*
9.81 *
q1
A1
Ao110.2
2
9.81
* sqrt
* qo11 1/X
+
+
+
+
1/S h1
sqrt
sqrt
h21/S
1 Ao12
9.81
*
*
*
sqrt*
9.81
2
+
+
1/Xqo12
*
9.81
sqrt
A2
q2
1/X0.3
+
+
+
+
*
1/S h3
sqrt
*
*
9.81
Ao210.2
qo21 1/X
2
9.81
* sqrt
*
*
sqrt*
9.81
2
1/Xqo22
0.3 Ao22
*
sqrt
+
+
*
9.81
*
9.81
0.5 1/X
q3
A3 *
+
+
*
sqrt*
9.81
2
1/Xqo31
9.81
*
*
Ao310.1
Plot
Time (s ec)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-X
-X
-X
-X
-X
Pretpostavili smo iznose koeficijenata A
011
= 0,25 m
2
; A
012
= 0,2 m
2
; A
021
= 0,4 m
2
;A
022
= 0,3 m
2
A
031
= 0,6 m
2
; A
1
= 1 m
2
; A
2
= 2 m
2
; A
3
= 5
m
2
, te su ulazni tokovi jedinične odskočne pobude jer se pretpostavlja da
su ulazni tokovi konstantni dakle vrijedi, q
1
= q
2
= q
3
= 1
!
5
#
6
; ΔT = 0,01
s. Iz ovog odziva možemo zaključiti da će prilikom punjenja posuda
(danih karakteristika) najveća visina biti u prvom spremniku dok je visina
u trećem spremniku najmanja. Zaključujemo da je to zato što su iznosi
izlaznih tokova najveći u trećem spremniku. Rezultati dobiveni za opisanu
simulaciju su prikazani na slijedećoj slici:
Slika 6.4 Vremenska promjena razina h
1
, h
2
i h
3
Ukoliko razmatramo sljedeći slučaj da su posude napunjene na nekoj
visini prije nego dovedemo ulazne tokove rezultati će se mijenjati.
Uzmimo da su površine presjeka kao u prethodnom slučaju, a početne
vrijednosti razina h
01
= 3 m ; h
02
= 2,7 m i h
03
= 3,1 m. Dobivamo
slijedeće rezultate:
razina h1
razina h2
razina h3
Slika 6.5 Vremenska promjena razina h
1
, h
2
i h
3
kada postoje početne
vrijednosti razine tekućine
Neka je zatim zadano A
011
= 0,25 m
2
; A
012
= 0,2 m
2
; A
021
= 0,4 m
2
; A
022
= 0,3 m
2
; A
031
= 15 m
2
A
1
= 1 m
2
; A
2
= 2 m
2
; A
3
= 5 m
2
; q
1
= q
2
= q
3
= 1
!
5
#
6
; ΔT = 0,5 s ; h
01
= 1,12 m h
02
= 1 m i h
03
=0.5 m. U ovom
slučaju će u vremenskom trenutku t = 9,6 s razina h
3
imati negativnu
vrijednost. Postavili smo koeficijente takve da ćemo dobiti množenje sa
negativnim korijenom. U praksi nije moguća negativna razina vode u
spremniku i rezultat koji smo dobili nije valjan.
razina h1
razina h2
razina h3
razina h1
razina h2
razina h3
Slika 6.6 Vremenska promjena razina h
1
, h
2
i h
3
kada h
3
poprima
negativnu vrijednost
