Primjer 1. - Spremnik kao objekt vođenja

Jednostavni spremnik sa slobodnim otjecanjem ima jedan ulazni tok q_u i jedan izlazni tok q_i.  Cilj vođenja je najčešće razina h tekućine u spremniku. Upravljačka varijabla je najčešće ulazni tok q_u. Sustav shematski prikazuje Sl. P.1.1.

Slika P.1.1. Sustav regulacije razine vode u spremniku

Modeliranje procesa transporta fluida temelji se na zakonu o očuvanju mase:

Prirast fluida u procesnom prostoru = Ulazni tok fluida - Izlazni tok fluida

(P-1-1)

Uz konstantnost presjeka A volumen spremnika je V = A ^. h, pa jednadžba postaje:

(P-1-2)

Ostaje nam još izlazni tok q_i izraziti u funkciji razine h . Pri tome se koristi Toricelijeva formula koja definira brzinu slobodnog istjecanja fluida iz spremnika, samo pod utjecajem gravitacijske sile, uz zanemarivanje koeficijenata kontrakcije i koeficijenta gubitka brzine:

(P-1-3)

A_o je presjek izlazne cijevi iz spremnika. Uvrstimo li (P-1-3) u (P-1-2) i jednadžbu sredimo dobiti ćemo diferencijalnu jednadžbu koja opisuje ovisnost razine fluida u spremniku i ulaznog toka fluida u spremnik:

(P-1-4)

Jednadžba je nelinearna. Možemo je i linearizirati oko neke radne točke q_io , h_o  na način da najprije prebacimo jednadžbu (P-1-3) u oblik gdje je h ovisno o q_{i .}.

(P-1-5)

Linearizaciju provodimo tako da jednadžbu (P-1-5) zamjenjujemo linearnom jednadžbom gdje je   u radnoj točki q_io , h_o . Deriviramo li jednadžbu (P-1-5) po q_i dobijemo:

(P-1-6)

Uvrstimo li h = h_o i q_i= q_io  dobijemo:

(P-1-7)

   i    (P-1-8)

Uvrstimo li to u jednadžbu (P-1-2) dobijemo:

(P-1-6)

(P-1-7)

Pređemo li u s područje, uz nulte početne q_io , h_o uvjete dobijemo:

(P-1-8)

iz čega slijedi prijenosna funkcija:

(P-1-9)

Znači linearizirani model spremnika sa slobodnim istjecanjem je prijenosna funkcija prvog reda nulte vrsti bez nula. Vremenska konstanta punjenja spremnika upravo je proporcionalna s presjekom spremnika A , a obrnuto proporcionalna kvadratu presjeku izlazne cijevi A_o .

VisSim model nelinearnog spremnika prema jednadžbi (P-1-4) prikazuje Sl.P.1.2.:

Slika P.1.2. VisSim model spremnika prema jednadžbi (P-1-4)

Slika P.1.3. daje tipične rezultate simulacije za jediničnu skokovitu promjenu ulaznog signala:
 

Slika P.1.3. Tipični odziv nelinearnog spremnika

Model spremnika se nalazi u datoteci vissim_primjeri.zip .

Zadatak za vježbu: Napravite linearni model spremnika prema jednadžbi (P-1-7) i usporedite da s nelinearnim modelom za različite vrijednosti ulaznog signala.