A-3 Specifikacija odziva u frekvencijskom području

Na frekvencijskim karakteristikama zatvorenog regulacijskog sustava definiraju se obično dvije frekvencije:

 ω_R - frekvencija maksimalnog rezonantnog nadvišenja (eng. Resonant Frequency), i

 ω_B - pojas propuštanja sustava (eng. Bandwith) kojeg definiramo frekvencijom na kojoj amplitudna frekvencijska karakteristika prijenosne funkcije zatvorenog regulacijskog sustava padne na vrijednost 1/√2  svoje vrijednosti u odnosu na istosmjerni signal.

Na amplitudnoj se karakteristici uz to definiraju još dvije specifikacije:

M_R – rezonantno nadvišenje (eng. Maximum Magnitude of Frequency Response) u odnosu na statičku vrijednost amplitude prijenosne funkcije i

Nagib gušenja (ili rezanja) (eng. Cutoff Rate) kao nagib amplitudne karakteristike prijenosne funkcije nakon pojasa propuštanja. Najčešće se izražava u dB/dekadi ili dB/oktavi (Napomena: dekada je deset puta veća frekvencija, a oktava dvostruko veća frekvencija).

Za sustav kome je prijenosna funkcija zatvorene petlje drugog reda

    (A.3.1)

ove se vrijednosti lako izračunaju

    (A.3.2)

    (A.3.3)

    (A.3.4)

Na primjer za ζ= 0.5,  ω_B = 1.27 ω_n , za  ζ= 1/1.41 ,  ω_B =  ω_n a za  ζ= 0.95 ,  ω_B =  0.7 ω_n  .

Slika prikazuje amplitudni frekvencijski dijagram za sustav statičke prijenosne funkcije zatvorene petlje |G(jω|=1 za ω=0.

Slika  A-3.1 Uz definiciju pojasa propuštanja ω_B i rezonantne frekvencije ω_R

Slično kao i kod vremenskog odziva mogu se definirati granice unutar kojih treba biti frekvencijska amplitudna karakteristika zatvorenog sustava. Primjer prikazuje Slika A-3.2. 

Slika  A-3.2 Dozvoljeno područje frekvencijske amplitudne karakteristike zatvorenog sustava

 

U specifikacije frekvencijskog područja ubrajaju se i relativne mjere stabilnosti: amplitudna (AP) i fazna (FP) pričuva. One se definiraju za zatvoreni regulacijski sustav G(s) na temelju prijenosne funkcije otvorenog regulacijskog sustava G_o(s). Prijenosna funkcija otvorenog regulacijskog sustava je produkt svih prijenosnih funkcija direktne i povratne grane. Pri tome su nam važne dvije frekvencije

ω_I  - frekvencija kritične amplitude – koju definiramo kao frekvenciju na kojoj je amplituda prijenosne funkcije regulacijskog sustava jednaka jedinici:

          (A.3.5)

ω_π  - frekvencija kritične faze – koju definiramo kao frekvenciju na kojoj je faza (argument) prijenosne funkcije regulacijskog sustava jednaka π

       (A.3.6)

Koristeći ove dvije frekvencije amplitudnu i faznu pričuvu definiramo na slijedeći način:

AP – amplitudna pričuva (eng.Gain Margin) definira se kao recipročna apsolutna vrijednost amplitude otvorenog regulacijskog sustava na frekvenciji kritične faze:

          (A.3.7)

AP se obično izražava u decibelima, pa jednadžba tada glasi:

          (A.3.8)

 

FP – fazna pričuva (eng. Phase Margin) definira se kao argument prijenosne funkcije regulacijskog sustava na frekvenciji kritične amplitude kojemu je dodan π  

          (A.3.9)

Za sustav drugog reda prijenosne funkcije zatvorene petlje (A.3.1) fazna pričuva se može izračunati jednadžbom

    (A.3.10)

Slika A-3.3 grafički prikazuje amplitudnu i faznu pričuvu na Nyquistovom dijagramu sustava.

Slika  A-3.3 Definicija amplitudne i fazne pričuve na Nyquistovom dijagramu

 U frekvencijske specifikacije karakteristika sustava spada i definiranje utjecaja vanjskog poremećaja i šuma mjerenja na odziv zatvorenog regulacijskog sustava. Pod vanjskim poremećajem prije svega smatramo poremećaje koji se superponiraju izlaznoj, vođenoj veličini sustava , a šum mjerenja ili šum senzora  dodaje se izlaznoj veličini sustava u povratnoj grani. Slika A-3.4 blokovski prikazuje regulacijski sustav sa dodanim vanjskim poremećajem i šûmom mjerenja.

Slika  A-3.4 Blokovski prikaz sustava s dodanim vanjskim poremećajem i šumom mjerenja izlaznog signala

 Izlazna veličina vođenog sustava je

    (A.3.11)

a pogreška

    (A.3.12)

 

U skladu s analizom osjetljivosti regulacijskih sustava (vidi Poglavlje 4.6 – Analiza osjetljivosti diskretnih sustava - text_4-12.htm) jednadžbe (A.3.11) i (A.3.12) možemo napisati koristeći funkciju osjetljivosti

    (A.3.11)

    (A.3.12)

gdje je  prijenosna funkcija zatvorene petlje, a funkcija osjetljivosti prijenosne funkcije zatvorene petlje na promjene prijenosne funkcije otvorene petlje. Da bi utjecaj vanjskog poremećaja na sustav bio što manji funkcija osjetljivosti treba biti što manja, a to znači da |G₀(jω)| treba biti što veći. To se isto odnosi i na pogrešku praćenja referentne veličine. S druge strane utjecaj šuma mjerenja se minimizira smanjivanjem |G(jω)| što zahtjeva što manji |G₀(jω)|. Dakle dva potpuno suprotna zahtjeva. Smanjenje utjecaja vanjskog poremećaja i dobro praćenje referentne veličine zahtijevaju što veću amplitudu prijenosne funkcije otvorene petlje, a dobro potiskivanje šûma mjerenja što manju vrijednost amplitude prijenosne funkcije otvorene petlje. Na svu sreću u praksi frekvencije vanjskih poremećaja su obično male frekvencije reda veličine frekvencija ulaznog, referentnog signala, a frekvencije šûma su velike frekvencije, pa se dobrim izborom amplitudne karakteristike prijenosne funkcije otvorene petlje mogu zadovoljiti sva tri zahtjeva (dobro praćenje reference, dobro potiskivanje poremećaja i neosjetljivost na šum mjerenja). Slika A-3.5 prikazuje primjer amplitudne karakteristike koja te, suprotne zahtjeve zadovoljava. (Napomena: Uočiti razliku između ove slike i slike A-3.2. U ovom se slučaju radi o frekvencijskoj karakteristici otvorene petlje, a na Slici A-3.2 bilo je riječ o frekvencijskoj karakteristici zatvorene petlje)
 

Slika  A-3.5 Dozvoljena područja unutar kojih treba biti frekvencijska amplitudne karakteristike otvorenog sustava

U slijedećem poglavlju ponavljamo temeljna znanja o digitalnim filtrima FIR i IIR tipa koji su važni za realizaciju digitalnog vođenja.

.: Slijedeća stranica > Temeljni pojmovi teorije digitalnih filtra FIR i IIR tipa