(2.2.17)

a_o do a_n-1 su binarni brojevi, a varijabla n se naziva vertikalna rezolucija A/D pretvarača. Uobičajeni binarni zapis digitalne vrijednosti je  N = [a_n-1a_n-2...a₁a₀ na primjer za n = 8: N = [ 1 0 0 1 0 1 1 1 ] .

Bit a_o zovemo najmanje značajan bit (eng. Least Significant Bit - LSB), a bit a_n-1 najviše značajan bit (eng. Most Significant Bit - MSB).

LSB ima vrijednost od 1/2ⁿ pune skale ulaznog signala što nazivamo kvantizacijski interval.

Ukoliko je ulazni signal unipolaran između vrijednosti 0, +R vrijednost v bilo kojeg binarne kombinacije N iskazane u dekadskom oblik možemo izračunati izrazom:

                     (2.2.18)

Na primjer za 8 bitnu binarnu kombinaciju N = [ 0 0 0 0 0 0 1 0 ] čiji je dekadski ekvivalent 1 x 2¹ = 2, a signal se kreće u rasponu od 0 do 10 V, vrijedi v = 10 ^. 2 /  256 = 0.0718125 . Za N = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 ] (dekadski 0) analogna vrijednost v je također  0 , a za N = [ 1 1 1 1 1 1 1 1 ] (dekadski 256 - najveća binarna kombinacija)   v = 10.

- -- > Offset binarni format

Standardni binarni format  koristan je samo ukoliko je ulazni signal unipolaran. Kod bipolarnog signala koji se kreće u granicama od –R do +R koristi se offset binarni format (eng. Offset Binary Format).

Najnegativnija vrijednost –R izražava se najmanje značajnim bitom (LSB) a_o, a najpozitivnija vrijednost +R najviše značajnim bitom (MSB) a_n-1. Jednadžba za proračun vrijednosti signala v sada postaje

                     (2.2.19)

Primijenimo li ovu jednadžbu na signal čija se vrijednost kreće između –10 i +10 V dobivamo za 8 bitnog pretvarača (n=8) za N = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 ]

a za najveću vrijednost N = [ 1 1 1 1 1 1 1 1 ]

.

Možemo primijetiti da najveća binarna vrijednost koju prema jednadžbi (2.2.17) dekadski izražavamo sa 256 ne daje najveću pozitivnu vrijednost +R. Zbog toga se kod praktičnih primjena područje A/D pretvarača postavlja između –R i + (R+1LSB) kako bi se cijela skala od –R do +R mogla prikazati binarno.

- -- > Format predznaka i iznosa

Treći binarni format je format predznaka i iznosa (eng. Sign a Magnitude Format). Kod njega se najznačajniji bit MSB koristi za predstavljanje predznaka, a ostalih (n-1) bita za predstavljanje veličine signala. Vrijednost je negativna ukoliko je MSB jednak 1, a pozitivna ukoliko je MSB jednak 0.

Jednadžbe pretvorbe sada glase:

                           (2.2.20)

i slične su jednadžbi pretvorbe standardnog binarnog formata (2.2.18) s tim da se vrijednost amplitude signala sada izražava sa (n-1) bitova.

- -- > Komplementarni offset binarni format (One's Complement)

Četvrti format se naziva komplementarni offset binarni format (eng. Complementary Offset Binary Format). Poznat je i od nazivom "One´s Complement”.

Isti je kao i offset binarni format osim što su svi bitovi invertirani. Jednadžba pretvorbe glasi:

                            (2.2.21)

Koristi se iz praktičnog razloga prikaza signala na monitoru, pa zbog toga brojne komercijalne A/D kartice za PC rade baš u ovom formatu.

- -- > Invertirani dva komplement format

Peti format je invertirani dva komplement format (eng. Inverted Two´s Complement Format) koji se uobičajeno u računalima koristi za prikaz brojeva. Isti je kao One´s Complement samo što se nakon inverzije doda jedinica. Format je sličan i 'sign & magnitude' formatu zato što se MSB koristi za prikaz predznaka. Ukoliko je MSB 1 broj je pozitivan a vrijednost mu se računa kao dva komplement cijelog broja:

                   (2.2.22)

Ukoliko je MSB jednak 0 broj je negativan i vrijednost mu se računa isto kao kod 'sign & magnitude' formata.

                          (2.2.23)

na primjer za 12 bitnu pretvorbu n = 12 i R = 10 vrijedi

Pogreška kvantizacije

Pogreška kvantizacije je jedan od važnih pojmova u teoriji A/D pretvarača. Pogledajmo primjer. Želimo da  napon u(t) na ulazu 4-bitnog A/D pretvarača bude u području  od 0 do 15V a  frekvencija uzorkovanja 100 Hz. 4 bitnom digitalnom kombinacijom možemo prikazati ukupno 2⁴=16 različitih razina ulaznog signala što znači da je kvantizacijski interval  1V odnosno 6.7% maksimalne vrijednosti ulaznog signala.

Slika 2.2.9. Digitalizacija kontinuiranog signala 4-bitnim A/D pretvaračem

Za primjer sa slike u razliku od 1/100 sek 0 0.01 sek na izlazu A/D pretvarača pojavio bi se slijed sljedećih digitalnih vrijednosti:

Na slici je lako uočiti da skoro za svaki period uzorkovanja postoji pogreška između stvarne vrijednosti signala u(t) i njegove digitalizirane vrijednosti. Naziva se pogreška kvantizacije. Kako se uobičajeno vrijednost zaokružuje najbližoj kvantiziranoj vrijednosti pogreška kvantizacije nikada ne prelazi polovicu kvantizacijskog intervala. U slučaju sa slike to je 0.5V pa se može kazati da stvarni signal nikada ne odstupa više od ± 0.5V od svoje digitalne reprezentacije.

Modeliranje djelovanja A/D pretvarača

Model A/D pretvarača u Vissim-u prikazuje slika 2.2.10.

Slika 2.2.10. Model A/D pretvarača u Vissimu (a-d.vsm)

Ulaz je analogni signal, a izlaz je signal diskretiziran po vremenu i kvantiziran po amplitudi propušten kroz sklop za obnavljanje 0-tog reda. U odnosu na realni A/D pretvarač nedostaje digitalno kodiranje – izlazni je signal i dalje analogan, ali diskretiziran i kvantiziran.

Mogu se podešavati tri parametra: N - broj bita konverzije (uobičajeno 8, 12 ili 16), maksimalna ulazna vrijednost (mjerena od 0 do POZITIVNOG maksimuma – trebala bi se poklapati s maksimalnom vrijednošću stvarnog signala s obzirom da se koristi kod određivanja kvantizacijskog intervala)  i  period uzorkovanja T.

Upozorenje: Provjerite da korak simulacije (Simulate >> Simulation Properties >> Step Size) bude dosta manje od perioda uzorkovanja.

Na slikama 2.2.11 i 2.2.12 prikazana su dva primjera simulacije, prvi je 8-bitnu pretvorbu i različite periode uzorkovanja, a drugi za isti period uzorkovanja i različite brojeve bitova pretvorbe.

Slika 2.2.11. Simulacija rada A/D pretvarača (N=8, T = 0.1 , 0.2 i 0.5 sekundi)


Slika 2.2.12. Simulacija rada A/D pretvarača (T=0.1, N = 2, 4 i 8 bita)

Tablica daje vezu između broja bitova pretvorbe i broja kvantizacijskih razina za tipične A/D pretvarače koji se pojavljuju u praksi (broj razina = 2^N)

Sklopovsku izvedbu A/D pretvarača ovdje nećemo razmatrati. Čitatelja upućujemo na 9. lekciju on-line tutorijala Controlling The Real World With Computers koja se baš bavi A/D pretvaračima (Experiment 9 - Analog To Digital Conversion) i druge tekstove o izvedbama A/D pretvarača (1. tekst i  2. tekst )

Iako se u praksi uzorkovanje signala uvijek provodi A/D pretvaračima, u nastavku teksta ćemo pretpostaviti da je broj bita pretvorbe dovoljno velik pa ćemo zanemariti kvantizaciju amplitude i sklop za uzorkovanje modelirati modulatorom prema jednadžbi (2.2.6). Slika 2.3.13 prikazuje model u Vissim-u. Koristimo standardni blok pulseTrain i množilo.

Slika 2.2.13. Model u Vissim-u sklopa za uzorkovanje promatranog kao modulator (szu.vsm)

Objašnjenje pojmova

Na koncu objasnimo i neke karakteristične pojmove vezane s A/D pretvaračima:

Vertikalna rezolucija (eng. Vertical Resolution) – broj bita pretvorbe.

Frekvencija uzorkovanja (eng. Sample Rate) naziva se još i takt (clock i izražava u MSPS (Mega Sampls Per Second).

Dubina memorije (eng. Memory Depth) – A/D pretvarač treba digitalni signal spremiti u memoriju kako bi ga procesor mogao pročitati kad njemu zatreba. Veličina memorije rezervirana za ovaj zadatak  naziva se memory depth.

Buffer memorija (eng. Buffer ili On-board Memory). Sklopovi s A/D pretvaračem obično imaju određeni statički RAM-a u koji se spremaju očitani podaci.

Flash A/D pretvarači (eng. Flash A/D converters) – vrlo brzi A/D pretvarači koji ulazni signal propuštaju paralelno kroz 2ⁿ komparatora na kojem se on uspoređuje s odgovarajućim naponom, tako da se na izlazu dobije 2ⁿ vrijednosti koje se u posebnom enkoderu pretvaraju u n-bitnu riječ.

Slika 2.2.14. Flash A/D pretvarač

Kašnjenje A/D pretvorbe (eng. Effective aderture dalay) – vremenski razmak između ulaznog brida signala takta koji nalaže predvorbu (convert) i trenutka kada je uzorak uzet.

SNR – odnos signal – šum (eng. Signal to noise ratio) - mjera količine smetnji koja se A/D pretvorbom dodaju signalu. Amplituda ulaznog sinusa se uspoređuje sa sumom signala svih ostalih frekvencija osim višekratnika osnovnog signala oko frekvencije uzorkovanja. 

Slika 2.2.15. Uz definiciju SNR (Signal to noise ratio)

                             (2.2.24)

ENOB - Efektivni broj bitova (eng. Efective Number of Bits) – zbog prisustva šuma nisu svi bitovi na raspolaganju za prijenos korisnog signala. Koliko ih je ostalo ovisi o SNR-u, a računa se iz jednadžbe:

                                SNR = 6.02   ENOB + 1.76 dB                                      (2.2.25)

THD  - totalno harmoničko izobličenje (eng. Total harmonic distorsio) mjera je slična SNR-u (signal to noise ratio) osim što se u nazivniku uzima suma energije viših harmonika, a ne energije šuma.

Suma SND i THD naziva se SINAD i predstavlja omjer energije osnovnih frekvencija i sume svih ostalih energija (viši harmonici i šum).

Analog Devices je napravio dobar kalkulator za brzi proračun SND /THD / SINAD vrijednosti .

Frekvencijsko preklapanje (eng. Aliasing) – ukoliko ulazni signal sadrži frekvencije veće od Nyqvistove frekvencije ω_N  (ω_N = ω_S/2) digitalizirani signal više ne sadrži iste frekvencijske komponente kao ulazni, analogni signal. Fenomen se zove aliasing i ne može se korigirati digitalnim filtriranjem. Jedino je rješenje anti-aliasing filter: nisko-propusni analogni filter koji blokira sve frekvencije ulaznog signala veće od Nyqvistove frekvencije. Frekvencijsko preklapanje je od izuzetnog značaja za A/D pretvorbu, pa ga detaljno razmatramo u poglavlju 2.2.5.