3.1.  Matematički opis diskretnog sustava jednadžbama diferencija

Cilj: Uvesti pojmove unaprijedne, povratne i centralne diferencije te pokazati kako se jednadžbe diferencija mogu pisati koristeći operatore.

 

Prvu unaprijednu diferencija definirali smo razlikom diskretnih signala u trenucima (k+1)T i kT podijeljenoj s periodom uzorkovanja T. Slično tome druga unaprijedna diferencija koja se označava sa Δ2 y(kT) definira se razlikom prvih diferencija podijeljenih periodom uzorkovanja T:

(3.1.1)

Treća unaprijedna diferencija  Δ3 y(kT) definira se razlikom drugih diferencija itd.

Općenito Δk nazivamo operator k-te diferencije. Operator Δ je linearni operator pa za bilo koje dvije konstante λ i μ vrijedi: 

        (3.1.2)

       (3.1.3) 

Uvedimo sada još jedan operator – operator pomaka :

                        (3.1.4)

gdje je n cijeli broj, a h realni broj koji može poprimiti bilo koju vrijednosti od 0 do 1 . Ograničiti ćemo se za sada na cjelobrojne pomake, što znači da pretpostavljamo da je h =1. U tom ga slučaju niti ne pišemo:

                           (3.1.5)

Za n = 0 operator pomaka se naziva operator identiteta i označava sa I:

                        (3.1.6)

Vratimo se sada prvoj diferenciji:

                          (3.1.7)

Očito je da operator prve diferencije možemo pisati:

                                    (3.1.8)

Na sličan način zapisujemo i operator druge

                          (3.1.9)

ili općenito n-te diferencije:

                                (3.1.10)

Zanimljiv je i izraz za proračun n-tog pomaka uz poznate diferencije:

                                (3.1.11)

Operator pomaka može biti i negativan. Tada se naziva operator zadrške ili operator kašnjenja (eng. Delay Operator):

      (3.1.12)

Nedostatak unaprijedne diferencije je taj što za proračun diferencije u trenutku kT treba poznavati vrijednosti signala u budućnosti. Upravo zbog toga u diferencijalnom računu uvedena je i povratna diferencija koja se označava operatorom :

                         (3.1.13)

Druga povratna diferencija je:

                         (3.1.14)

itd. Operator povratne diferencije također možemo prikazati operatorom identiteta i operatorom pomaka

       (3.1.15)

Unaprijedna i prethodna diferencija vezane su sljedećim izrazima:

                     (3.1.16)

                   (3.1.17)

Ponekad se definira i centralna diferencija  izrazima:

                  (3.1.18)

 

            (3.1.19)

 

ali se ona obično u praksi ne koristi, pa se njom dalje nećemo niti baviti.

 

Sljedeće se poglavlje bavi problemom rješavanja jednadžbi diferencija, posebno postupcima primjenjivim na digitalnom računalu.