U u ovom se primjeru lako može izvesti i općenita formula za k = 0, 1, 2, ...

     (3.2.3)

Jednadžba (3.2.3) je opće rješenje jednadžbe diferencija (3.2.1), kao što je jednadžba (3.2) opće rješenje diferencijalne jednadžbe (3.1). Opće rješenje možemo dobiti i analitičkim metodama, koje se u praksi obično ne koriste pa ih ovdje nećemo ni razmatrati.

Treći je postupak operatorski postupak kod kojeg se izborom prikladne transformacije jednadžba diferencija nastoji prebaciti u lakše rješivi oblik, a to je algebarska jednadžba. Sličan se postupak koristi kod rješavanja diferencijalnih jednadžbi. Primjenom linearne integralne transformacije poznate po imenu Laplaceova transformacija diferencijalna se jednadžba iz vremenskog t područja prebaci u kompleksno s područje u kojem se ona transformira u algebarsku jednadžbu. Algebarska je jednadžba lako rješiva  (rješavanje algebarskih jednadžbi uči se još u osnovnoj školi, dok se diferencijalne jednadžbe spominju tek na fakultetu). Kad se u s području dođe do rješenja pribjegne se inverznoj Laplaceovoj transformaciji kojom se iz s područja vraćamo natrag u t područje koje nas u biti i zanima. Nama je zanimljivo doznati što se događa u vremenskoj domeni u kojoj mi i živimo.

 Slika 3.2.1. Rješavanje diferencijalnih jednadžbi korištenjem Laplaceove transformacije

Kod rješavanja jednadžbi diferencija postupak je identičan samo što se umjesto Laplaceove transformacije koristi Z - transformacija koja jednadžbe diferencija iz diskretnog kT područja prebaci u algebarske jednadžbe kompleksnog Z - područja. Algebarska se jednadžba riješi, a rješenje se inverznom Z - transformacijom vrati  natrag u kT područje.

  Slika 3.2.2. Rješavanje jednadžbi diferencija korištenjem Z - transformacije

Vezu između signala u kontinuiranom vremenskom, diskretnom vremenskom, Laplceovom i Z području možemo predočiti i sljedećom slikom:

Slika 3.2.3. Veza između signala u vremenskom, Laplaceovom i Z području

Kontinuirani vremenski signal y(t) s jedne se strane prebacuje u Laplaceov signal Y(s) Laplaceovom transformacijom. S druge strane možemo ga prebaciti i u diskretno područje impulsnim modulatorom, pa dobiti modulirani slijed impulsa y*(t):

ili sklopom za uzorkovanje koji na svom izlazu  daje diskretne vrijednosti y(kT) (koje često pišemo i y_k ). Diskretni signal y*(t) možemo dalje Laplaceovom transformacijom prebaciti u Lapleceovo područje i dobiti Y*(s). Razlika između Y*(s) i Y(s) je u tome što je kod Y*(s) osnovi spektar signala Y(s) proširen po cijelom frekvencijskom području i ponavlja se oko kružne frekvencije uzimanja uzoraka ω_S:

      (3.2.5)

Do signala u Z – području Y(z) možemo doći na dva načina: 

a) varijablu z definiramo kao z = e^sT , pa iz Y*(s) zamjenom svakog s-a sa pređemo u Y(z), ili

b) na diskretni signal y(kT) primijenimo Z – transformaciju