3.5.8.  Prijelaz iz jednog opisa varijablama stanja u drugi opis i modalna forma

Cilj: Naučiti kako se može iz jednog opisa varijabli stanja preći u drugi i što je to modalna forma

Ukoliko nam je poznat opis diskretnog sustava varijablama stanja, uvijek možemo preći i u drugi opis (za neki drugačiji izbor varijabli stanja) ukoliko se može definirati ne-singularna transformacijska matrica T. Pretpostavimo da je postojeći vektor varijabli stanja x(kT), da je novi vektor varijabli stanja w(kT), te da je moguće pronaći ne-singularnu transformacijsku matricu T tako da je zadovoljena matrična jednadžba:

          (3.5.44)

Postojeći opis ponašanja sustava varijablama stanja je

          (3.5.45)

a do novog opisa dolazimo jednadžbom:

          (3.5.46)

iz čega slijedi:

          (3.5.47)

Vrlo važan pojam je i modalna ili dijagonalna realizacija diskretnog sustava varijablama stanja. Temelji se na modalnoj matrici transformacije P pomoću koje se sustav (3.5.45) prebacuje u oblik:

          (3.5.48)

kod kojeg je matrica  dijagonalna matrica kod koje se na dijagonali nalaze vlastite ili karakteristične vrijednosti matrice Φ .

Ukoliko su sve karakteristične vrijednosti matrice Φ realne i jednake λ1  do λn  modalna realizacija je oblika

          (3.5.49)

Ukoliko su neke od karakterističnih vrijednosti konjugirano kompleksne onda je primjereniji oblik:

          (3.5.50)

kod kojeg su a i b realni i imaginarni dio konjugirano kompleksne vlastite vrijednosti λ1=α+jβ  i λ2=α-jβ.

Primjer:

Pogledajmo primjer istosmjernog motora upravljanog strujom armature prikazanog na slici 3.5.11.

Slika 3.5.11. Blok shema istosmjernog motora i pojačala

Jednadžbe varijabli stanja su:

   

Uz T=0.1 diskretne jednadžbe varijabli stanja su

Vlastite vrijednosti matrice F su

pa je modalna forma diskretnih varijabli stanja

a modalna matrica transformacije

Napomena: Sve su vrijednosti izračunate programom Matlab koji ima odgovarajuće funkcije za prijelaz na modalnu formu i određivanje modalne matrice transformacija.

 

Sljedeće poglavlje obrađuje analizu diskretnih sustava, od analize stabilnosti, analize tranzijentnog odziva do analize osmotrivosti i upravljivosti diskretnog sustava.