3.3.1.  Svojstva Z - transformacija

Cilj: Naučiti osnovna svojstva Z - transformacije bez detaljnijeg ulaženja u objašnjenja. Svojstva ćemo komentirati u poglavljima u kojima ih budemo koristili.

 

1. Linearnost

                         (3.3.9)

gdje su α i β  konstante.

2. Množenje s ak (skaliranje u z području)

                                     (3.3.10)

3. Vremenski pomak

Općenito vrijedi:

                  (3.3.11)

 

Za negativne vremenske pomake x*(t-nT), suma bi išla od 0 do nekog negativnog broja, a kako je x(kT) = 0 za k<0 izraz (3.3.11) prelazi u oblik:

                               (3.3.12)

Za pozitivne pomake x*(t+nT), suma se ne može zanemariti zato što ide od 0 do pozitivnog broja, a općenito x(kT) 0 za k>0, pa ostaje:

                   (3.3.13)

Izraz (3.3.13) na neki način podsjeća na Laplaceovu transformaciju derivacije.

Pogledajmo primjer za k=1. Z - transformacija pomaknutog diskretnog signala glasi:

a Laplaceova transformacija prve derivacije je:

Postoji određena sličnost ali nije potpuna.

 

4. Kompleksna promjena skale

                   (3.3.14)

5. Teorem početne vrijednosti 

              (3.3.15)

6. Teorem konačne vrijednosti

                         (3.3.16)

Teorem ima smisla ako je sustav stabilan o čemu ćemo posebno govoriti.

Zanimljivo je usporediti teoreme konačne vrijednosti Laplaceove transformacije  i Z -  transformacije. Za Z - transformaciju vrijedi izraz (3.3.16), a za Laplaceovu transformaciju:

                             (3.3.17)

Veza između kompleksne varijable z i s je z = eTs, iz čega direktno slijedi da 1  ukoliko 0. Osim toga Z - transformacija jediničnog skoka je z/(z-1)  (vidi tablicu), a njegova Laplaceova transformacija 1/s pa ima smisla što se u jednadžbi (3.3.16) pojavljuje (z-1)/z na mjestu gdje u jednadžbi (3.3.17) dolazi s.

 

Iz z područja u diskretno vremensko područje se vraća pomoću inverzne Z - transformacije koju obrađujemo u sljedećem poglavlju