Digitalno vođenje on-line (FESB, Split)

3.3.2. Inverzna Z - transformacija

Cilj: Naučiti kako se iz z područja možemo vratiti u vremensko područje. Kako iz funkcije X(z) rekonstruirati slijed x(kT), k = 0, 1, 2, ...

Sjetimo se da smo Z - transformaciju uveli kako bismo lakše rješavali jednadžbe diferencija s obzirom da se one u z području prebacuju u algebarske jednadžbe. Kako nas zanima što se s našim diskretnim sustavom događa u vremenskoj domeni dobiveno rješenje X(z) treba se vratiti natrag u diskretni oblik x^*(t). Iz poznate Z - transformacije trebamo rekonstruirati slijed x(kT), k = 0,1,2,...

Inverznu Z - transformaciju možemo provesti na dva načina – analitički i numerički, a svaki od ovih postupaka ima i svoje dvije pod metode:

1. Analitički postupak

a) integral inverzije

b) razvoj u parcijalne razlomke

2. Numerički postupak

a) direktno dijeljenje

b) digitalno filtriranje

Analitički postupak - integral inverzije

Integral inverzne Z – transformacije definiran je izrazom:

(3.3.18)

gdje je C kontura integracije u z ravnini koja okružuje singularne točke (nule i polove) funkcije X(z)^. z^k-1.

U inženjerskim primjenama ovaj se postupak ne koristi, pa ga dublje nećemo ni razmatrati. Integriranje u kompleksnoj ravnini je previše složeno a do rezultata možemo doći puno jednostavnije.

Analitički postupak - razvoj u parcijalne razlomke

Postupak je isti kao kod inverzne Laplaceove transformacije. Funkcija u z području se najprije razbije na parcijalne razlomke, a onda se svaki parcijalni razlomak jednostavno vraća u vremensko područje korištenjem tablica Z – transformacije. Razlika je jedino u tome što se u red parcijalnih razlomaka razvija X(z)/z. Tek nakon razvoja, desna se strana množi sa z, pa se koriste tablice.

P r i m j e r :

Dijelimo izraz sa z:

Iz tablica dobijemo

pa je:

Numerički postupak - direktno dijeljenje

X(z) se nastoji razviti u red potencija:

(3.3.19)

Iz čega se korištenjem teorema pomaka i činjenice da je Z - transformacija Diracove funkcije δ(t)jednaka jedinici, dobije:

(3.3.20)

Do izraza (3.3.19) dolazi se jednostavnim dijeljenjem brojnika i nazivnika funkcije X(z).

P r i m j e r :

Dijelimo:

itd.

Dakle imamo x(0) = 1, x(T)=0.5, x(2T)=0.25, ... pa je:

Ponekad je dobro prije dijeljenja brojnik i nazivnik podijeliti s najvećom potencijom od z:

(3.3.21)

a_o treba uvijek biti jednak jedinici. Ukoliko nije sve koeficijente trebamo najprije podijeliti s a_o.

Kako je za realne sustave m ≤ n dijelimo brojnik i nazivnik sa zⁿ pa dobijemo:

(3.3.22)

P r i m j e r :

Uzmimo isti primjer kao prije:

Dijelimo:

itd.

pa je isto kao i prije

Numerički postupak - digitalno filtriranje

Postupak se temelji na promatranju funkcije u z području kao prijenosne funkcije digitalnog filtra kod kojega računamo odziv na Diracovu δ pobudu. Najbolje ga je ilustrirati primjerom:

P r i m j e r :

najprije podijelimo brojnik i nazivnik sa z²:

Križno množenje daje:

Prebacimo izraz u vremensko područje koristeći teorem pomaka:

_{odnosno:

_{vrijedi , dok je za ostale . Također svi manji od nule jednaki su nuli.

Jednadžbu rješavamo iterativno:

itd.

Rješenje je kao i kod direktnog dijeljenja beskonačni red:}}

Kao što se cijela "klasična" regulacija kontinuiranih sustava temelji na opisu ponašanja sustava prijenosnom funkcijom, tako se i "klasična" diskretna regulacija temelji na diskretnom ekvivalentu prijenosne funkcije koji nazivamo impulsna prijenosna funkcija.