3.3.3.  Zadaci

1. Matematički prikaz uzorkovanih funkcija

Na slici 3.3.2 prikazana je uzorkovana funkcija f * (t) za koju su poznate vrijednosti samo u diskretnim trenucima, t = 0, T, 2T, …, kT. Napisati matematički izraz koji opisuje prikazanu funkciju u:
a) vremenskom području,
b) pomoću Laplaceovog operatora,
c) pomoću z - operatora.



Slika 3.3.2. Uzorkovana funkcija

Svaki k-ti uzorak funkcije pojavljuje se u pripadnom diskretnom trenutku kao vrijednost fk = f(kT).

Tada je:

a)

b)

c) Budući da su s - operator i z - operator povezani relacijom , vrijedi:

 

2. Preslikavanje kompleksnih točaka iz s - ravnine u z - ravninu

Preslikati kompleksne točke koje se nalaze u s - ravnini u odgovarajuće točke u z - ravnini, vrijeme uzorkovanja je zadano T = 0.35.

a) s1 = -0.5; b) s2 = 1.1 +j 0.5 ; c) s3 = -0.5 – j ; d) s4 = j 1.5
 

Kompleksna z – ravnina prikazan je na slici 3.3.3. Veza između s - operatora i z - operatora određena je matematički kao: . Budući da je s- operator kompleksan tj. , vrijedi:

Slika 3.3.3. Kompleksna z – ravnima i z – operator

Preslikavanje se izvodi prema navedenim relacijama. Položaji odgovarajućih točaka u s - ravnini i z - ravnini prikazani su na slici 3.3.4.

a) s1 = -0.5 ili

b) s2 = 0.8 + j0.5 ili

c) s3 = -0.5 – j1 ili

d) s4 = j1.5 ili

 

Slika 3.3.4. Zadane točke i njihovi položaji u s - ravnini i z – ravnini

 

3. Uzorkovane funkcije i Z - transformacija (izvedba tablice transformacija)

Ako funkcija f(t) = 2 e-0.8t prolazi kroz idealan sklop za uzorkovanje, na izlazu iz sklopa pojavljuju se uzorci u trenucima t = 0, T, 2T, ... Opisati uzorkovanu funkciju pomoću z - operatora i izvesti jednostavniji oblik zapisa.

Na izlazu iz sklopa za uzorkovanje zadana funkcija ima matematički prepoznatljiv oblik u vremenskom području, kao:

Primjenom z - operatora funkcija je matematički opisana kao:

ili, ako izdvojimo konstantu koja je zajednička svim uzorcima i ne ovisi o položaju uzoraka, vrijedi:

označimo li , tada vrijedi F(z) = 2 * S

Izraz S se može izračunati kao:

  ako je

Primijenimo li relaciju na zadanu funkciju, vrijedi:

Sređivanjem dobivene sume po operatoru z, konačno možemo napisati jednostavniji matematički opis zadane, uzorkovane funkcije, ili:

Ova funkcija može se unijeti u Tablicu najčešće korištenih elementarnih funkcija za koje se Z – transformacije određuje na ovdje prikazan način. Tablica obično sadrži i dodatne informacije i sadrži sljedeće stupce:

f(t) F(s) F(z) f(kT)

 

4. Primjena tablice Z-transformacije i prilagodba tabličnim oblicima

Primjenom proširenih tablica Z-transformacije koje pripadaju elementarnim funkcijama potrebno je preslikati funkciju F(s) u pripadni oblika F(z), ako je:

a)

b)

a) Prema Tablici zadana funkcija nema konačan oblik preslikavanja, već je dana u obliku izraza tj. općenit izraz u Laplaceovom području ima općenito iskazanu Z – transformaciju:

U zadanom primjeru k = 4, pa je za preslikavanje potrebno riješiti tri parcijalne derivacije po "a", ili

Prva parcijalne derivacija ima rješenje:

Druga parcijalna derivacija ima rješenje:

Treća parcijalna derivacija ima rješenje:

Konačno dobijemo rezultat preslikavanja:

b) U Tablicama ne postoji oblik za preslikavanje koji bi izravno odgovarao zadanoj funkciji. Tada se služimo dopuštenim matematičkim preinakama koje nam mogu pomoći u rješavanju.

Vrijedi:

Teoremom linearnosti (poglavlje 3.3.1) i postojećim oblicima u tablici na slici 3.3.1 možemo izvesti zadano preslikavanje.

 

5. Utjecaj izbora vremena uzorkovanja na Z – transformaciju

Zadana je kontinuirana funkcija . Odrediti pripadnu Z – transformaciju, ako je vrijeme uzorkovanja određeno kao:

a)

b)

c)
 

Primjenom tablice Z – transformacije vrijedi:

a) Ako je , tada se pripadna Z – transformacija funkcije može izraziti kao

Na slici 3.3.5 prikazan je odnos izvorne kontinuirane funkcije i uzoraka dobivenih uzorkovanjem s ovako zadanim vremenom T.

b) Ako je , tada se pripadna Z – transformacija funkcije može izraziti kao

Na slici 3.3.6 prikazan je odnos izvorne kontinuirane funkcije i uzoraka dobivenih uzorkovanjem s ovako zadanim vremenom T.



Slika 3.3.5. Odnos kontinuirane funkcije i uzoraka za T=1/(10+T0 )

 



Slika 3.3.6. Odnos kontinuirane funkcije i uzoraka za T = 1/(4+T0 )


c) Ako je , tada se pripadna Z – transformacija funkcije može izraziti kao

tj. uzorci kontinuirane funkcije uzimaju se samo u nul-točkama i uzorkovana slika bi prikazivala niz uzoraka vrijednosti nula.

Komentar!

Jedino u a) dijelu rješenja Z – transformacija ima prepoznatljiv oblik sinusne funkcije, a i uzorci na slici 3.3.5 relativno dobro oslikavaju izvornu funkciju. Kod b) dijela rješenja Z – transformacija dobiva teško prepoznatljiv oblik, a i slika uzoraka bi teško asocirala na sinusnu funkciju. Kod c) dijela zadatka uočljiv je apsurdan način uzorkovanja. Kvaliteta izbora vremena uzorkovanja odražava se ne samo na vremenskoj i frekvencijskoj slici funkcije, već i na izrazu Z – transformacije.

 

6. Utjecaj izbora vremena uzorkovanja na Z – transformaciju

Primjenom temeljnog teorema Z - transformacije – Teorema linearnosti – i primjenom tablice Z - transformacije za elementarne funkcije (slika 3.3.1), potrebno je preslikati funkciju F(s) u pripadnu funkciju F(z).

Ako zadana funkcija ne predstavlja tablični oblik, do elementarnih oblika dolazi se rastavljanjem na parcijalne razlomke ili vrijedi:

Prema Teoremu linearnosti vrijedi:

Primjenom izraza na zadanu funkciju i uz tablicu sa slike 3.3.1 dobijemo:

Rezultat preslikavanja često se opet vraća na zajednički razlomak ili

 

7. Inverzna Z - transformacija (primjena tablica i Teorema linearnosti)

Odrediti inverznu Z – transformaciju zadane funkcije primjenom tablice na slici 3.3.1. Zadana je funkcija i vrijeme uzorkovana T = 1.

Ako se traži inverzna Z - transformacija primjenom tablica, najprije potražimo da li se zadana funkcija nalazi u tablici. Ovdje zadana funkcija nije elementarna i stoga funkciju treba prilagoditi elementarnim oblicima rastavljanjem na parcijalne razlomke.

Uočiti! Sve elementarne funkcije Z - transformacije imaju u brojniku operator z. Primjena tablica u inverznoj Z - transformaciji imat će smisla ako se nazivnik zadane funkcije može jednostavno prikazati u kaskadnom obliku i ako se zadanoj funkciji može u brojniku izdvojiti operator z.

U ovom slučaju vrijedi:

Rješavanjem se dobije A = 2.7 ; B = - 6.3 ; C = 6.3.


Sad se funkcija može prikazati kao:

U tablici na slici 3.3.1 mogu se izdvojiti (prepoznati) sljedeći oblici:

f(t) F(s) F(z)
u(t)-jedinična odskočna funkcija

Sad se može iskoristiti Teorem linearnosti prema kojem je:

ili

Potrebno je, također, povezati na pravi način oblike i ili u ovom zadatku treba povezati izraz:

Na temelju svih uvedenih relacija može se zapisati inverzna Z - transformacija, a funkcija se može prikazati u željenom obliku:

ili

ili

 

8. Inverzna Z - transformacija (numeričkim postupkom ili direktnim dijeljenjem)

Odrediti inverznu Z - transformaciju funkcije

Inverzna Z – transformacija, općenito, može predstavljati preslikavanje u različita područja, Laplaceovo, vremensko – kontinuirano i vremensko – diskretno. U zadatku 6. zadana je funkcija, primjenom tablice sa slike 3.3.1, preslikana u sva tri područja. Takvo se rješenje može dobiti samo ako postoji način da se Z – transformacija zadane funkcije prikaže pomoću elementarnih, tabličnih oblika.

Nazivnik funkcije F(z) zadane u ovom zadatku prikazan je u obliku polinoma koji se ne može jednostavnim računskim operacijama svesti na produkt. U takvim slučajevima se inverznom Z – transformacijom rješenje prikazuje samo u vremensko – diskretnom području, tj. prepoznaju se samo vrijednosti uzoraka funkcije u pojedinim diskretnim trenucima.

Kad je funkcija zadana u z području u obliku razlomka najjednostavniji način da se izdvoje vrijednosti uzoraka je da se podijele polinomi brojnika i nazivnika. Za zadanu funkciju vrijedi:

Računska operacija dijeljenja može trajati po volji dugo, a rješenje inverzne Z – transformacije ili uzorci funkcije prepoznat će se u trenucima uzorkovanja vremenom T ili kao:

f(0) = 0.357 * 1
f(T) = 0.357*1.25 = 0.446
f(2T) = 0.357*1.259 = 0.449

 

9. Inverzna Z - transformacija (primjenom Juryevih koeficijenata)

Odrediti inverznu Z – transformaciju zadane funkcije:

Funkcija je zadana u obliku razlomka sa složenim polinomom u nazivniku i bez mogućnosti da se u brojniku izdvoji zajednički operator z. Primjena tablica, stoga, nije moguća, pa preostaje traženje vrijednosti uzoraka funkcije u vremenskom području.

Budući da sam postupak dijeljenja polinoma s polinomom (koji za potrebe analize može trajati značajno dugo da bi pretražili sve zanimljive uzorke) nije praktična računska operacija, Jury je u postupku dijeljenja uočio iterativnu općenitost. Postupak dijeljenja predočio je računskim operacijama s koeficijentima koji nose njegovo ime, Juryevi koeficijenti.

Ako je:

tada je:

ili se može izdvojiti zapis pogodan za računanje uzoraka na digitalnom računalu u obliku:

vrijedi:

Uzorci rješenja se mogu izdvojiti kao:

C(0) = c0
C(T) = c1
C(2T) = c2
……………..
C(kT) = ck

Zadana funkcije F(z) nije napisana na način primjeren uvedenim koeficijentima. Prilagođava se potrebnom zapisu na jednostavan način, matematički dozvoljen, dijeljenjem i brojnika i nazivnika sa z4.

Vrijedi:

10. Inverzna Z - transformacija (Juryevi koeficijenti i Teorem konačne vrijednosti)

Odrediti inverznu Z – transformaciju zadane funkcije (T = 0.5) pomoću:

a) Tablica,
b) Juryevih koeficijenata (3 uzorka)
c) Primjenom Teorema konačne vrijednosti provjeriti konačnu vrijednost funkcije, bez iterativnog računanja uzoraka.

Zadano je:
 

a) Zadana funkcija ima jednostavan polinom u nazivniku i u brojniku se može izdvojiti operator z. Stoga se inverzna Z - transformacija može izvoditi i pomoću tablica. Kad je u nazivniku kvadratni član, prije upotrebe tablica, potrebno je provjeriti rješenja polinoma.

Vrijedi:

Budući da je rješenje kompleksno, iz tablice sa slike 3.3.1 koristiti će se oblik koji zadržava polinom drugog reda u cijelosti:

f(t) F(z)

Sad se može povezati:

ili

Konačno rezultat inverzne Z - transformacije iskazan u vremenskom – kontinuiranom području daje funkciju:

b) Funkcija se prilagođava Juryevim koeficijentima i vrijedi:

Rezultati dobiveni postupcima a) i b) mogu se usporediti:

f(t) Juryevi koeficijenti
f(t) = 3e-0.8tsin(5t)
f(0) = 0
f(t=0.5s) = 1.19
f(t=1s) = -1.3
f(0) = 0
f(T=0,5s) = 1.205
f(2T=1s) = -1.2935

Na slici 3.3.7 prikazana je funkcija f(t) u vremensko – kontinuiranom području, kao i mjesta na kojima se izdvajaju uzorci funkcije u vremensko – diskretnom području, za izabrano vrijeme T = 0.5.



Slika 3.3.7. Izgled funkcije f(t) i vrijednost te funkcije u jednom izdvojenom trenutku koji odgovara uzorku f(2T)

c) Da bi se izbjeglo nizanje uzoraka i dugotrajno računanje, ako to nije nužno, vrijednosti uzoraka na kojima se funkcija ustaljuje mogu se izračunati pomoću Teorema konačne vrijednosti.

Teorem konačne vrijednosti može se primijeniti, u matematički pogodnom obliku, u vremenskom području, u Laplaceovom području ili u području Z – transformacije. Vrijedi:

Za zadanu se funkciju može izračunati:

Postupci rješavanja konačne vrijednosti u vremenskom ili z području daju identične rezultate, a izračunata konačna vrijednost odgovara i slici 3.3.7.