4.6.  Analiza osjetljivosti diskretnih sustava

Analiza osjetljivosti je jedna od temeljnih analiza kontinuiranih regulacijskih sustava. Razlog je taj što svaki sustav vođenja ima parametre koji se mijenjaju s temperaturom, vlagom, visinom, starenjem itd. S druge strane projektantske su želje da se karakteristike sustava vođenja pri tome ne mijenjaju ili bar ne mijenjaju bitno, pa se zbog toga nastoji pronaći kako sustav projektirati da mu osjetljivost na promjene parametara bude što manja. Pri tome nas prije svega zanima utjecaj promjene parametara na prijenosnu funkciju zatvorenog regulacijskog sustava. Pogledajmo kako se osjetljivost analizira kod diskretnih sustava. 

Neka je G(z) impulsna prijenosna funkcija otvorene petlje, a W(z) impulsna prijenosna funkcija zatvorenog regulacijskog sustava   

           (4.6.1)

Osjetljivost funkcije W(z) na promjenu parametra a definira se izrazom

            (4.6.2)

Neka je parametar cijela impulsna prijenosna funkcija otvorene petlje G(z). Računamo

            (4.6.3)

Što iz ovoga izraza možemo zaključiti? Možemo donijeti više zaključaka koji nam mogu koristiti kod projektiranja sustava vođenja. A. Feurer i G.C. Goodwin pregledno su ih nabrojili u knjizi Control Handbook, CRC Press 1996:

a) Zbrojimo li  i W(z) dobijemo:

            (4.6.4)

b) Nule z_o prijenosne funkcije W(z) ujedno su i nule prijenosne funkcije otvorene petlje G(z), pa iz (4.6.3) možemo vidjeti da će za te vrijednosti funkcija osjetljivosti biti jedinična

            (4.6.5)

c) Nule funkcije osjetljivosti  odgovaraju polovima p_o impulsne prijenosne funkcije otvorene petlje G(z) , za koje će prema (4.6.2) biti

              (4.6.6)

d) Obično se nastoji da modul impulsne prijenosne funkcije |W(z)| bude na niskim frekvencijama što bliže jedinici, kako ne bi postojala pogreška ustaljenog stanja za istosmjerni signal.

e) S druge strane na velikim frekvencijama nastoji se da |W(z)| bude što manji kako bi sustav bio neosjetljiv na smetnje visokih frekvencija. U tom će slučaju na visokim frekvencijama funkcija osjetljivosti težiti 1.

f) Zbog b) i d), kako bi se izbjegla nadvišenja od |W(z)|, poželjno je da su polovi impulsne prijenosne funkcije zatvorene petlje W(z) manji od nula impulsne prijenosne funkcije otvorene petlje G(z).

g) Zbog c) i e), kako bi se izbjegla velika nadvišenja funkcije osjetljivosti , poželjno je da su polovi impulsne prijenosne funkcije zatvorene petlje W(z) veći od polova impulsne prijenosne funkcije otvorene petlje G(z).

h) Kod stabilnih, dobro prigušenih polova i nula f) i g) se lako može postići poništavanjem. Ako ima nestabilnih polova i nula impulsne prijenosne funkcije otvorene petlje potrebno je postaviti ograničenja na pojas propuštanja zatvorene petlje i to

pojas propuštanja zatvorene petlje < nestabilnih nula otvorene petlje           (4.6.7)

pojas propuštanja zatvorene petlje > nestabilnih polova otvorene petlje                   

Osjetljivost je funkcija frekvencije. Na frekvenciji ω računamo je uvrštavanjem z=e^jωT u izraz za osjetljivost:

            (4.6.8)

Kako bi osjetljivost bila mala G(e^jωT) treba biti velik što znači da osjetljivost smanjujemo povećanjem pojačanja otvorene petlje. S druge strane povećanje pojačanja negativno djeluje na stabilnost sustava, pa je potrebno pronaći mjeru između ova dva suprotna zahtjeva.