4.4.1.  Bilinearna transformacija

Cilj: Naučiti što je to bilinearna transformacija i zašto se ona uvodi kod analize diskretnih sustava u frekvencijskoj domeni.

Osnovna ideja uvođenja bilinearne transformacije jest prebaciti se jednoznačno iz z područja u neko novo područje, na način da se jedinični krug z ravnine preslika u cijelu lijevu polu-ravninu tog novog područja. Prisjetimo se da Z - transformacija nije jednoznačna. Jedinični krug se preslika u lijevi dio osnovnog pojasa s ravnine (lijevi polu-pojas) i sve druge polu-pojaseve paralelne s njim, a cijela z ravnina se preslika u osnovni pojas s ravnine i sve pojaseve paralelne s njim. Zbog toga s teorijske točke gledanja nije moguće koristiti inverznu Z - transformaciju za vraćanje iz z područja u s područje. Treba nam nova transformacija i novo područje kod koje je preslikavanje jednoznačno. Napomenimo i to da s praktične točke gledanja vraćanje iz z ravnine u s ravninu i nije toliki problem zato što je frekvencija uzorkovanja obično toliko velika da se sve singularne točke nalaze unutar osnovnog pojasa (širinu osnovnog pojasa definira kružna frekvencija uzorkovanja ωs pa što je frekvencija uzorkovanja veća to je i širina osnovnog pojasa veća), ali u svakom slučaju primjena bilinearne transformacije daje jednoznačno preslikavanje.

Najpogodnija transformacija za jednoznačno preslikavanje z ravnine je bilinearna transformacija ili kako se često zove linearna frakcionalna transformacija. Njezin opći oblik je

      (4.4.8)

gdje su a, b, c i d konstante, a x i y varijable. U grupu bilinearnih transformacija spada na primjer translacija (y = ax + b) ili inverzija (y = 1/x), ali u diskretnim sustavima koristi se oblik kod koga su konstante su a = b = d = 1 i c = -1, dok se nova varijabla zove w i ona odgovara varijabli x, a varijabli y odgovara varijabla z, pa se veza između varijable z iz z ravnine i nove varijable w iz nove w ravnine definira izrazom

      (4.4.9)

Impulsna prijenosna funkcija G(z) iz z ravnine prebacuje se u oblik G(w) u w ravnini transformacijskom jednadžbom:

      (4.4.10)

Varijabla w je također kompleksna varijabla w = u + jv isto kao što je i varijabla s kompleksna varijabla s = σ + jω. Pokušajmo povezati imaginarnu komponentu varijable w i imaginarnu komponentu varijable s. Izrazimo najprije w preko z:

      (4.4.11)

Uvrstimo li sada z=ejωT dobijemo 

      (4.4.12)

pa slijedi da je

      (4.4.13)

Što to znači? Jednadžba (4.4.13) daje vezu između s i w ravnine. Frekvencijski dijagrami w ravnine za promjenu varijable v od 0 do , odgovaraju u s ravnini frekvencijskim dijagramima za promjenu frekvencije ω  od 0 do π/T. Zbog toga neki autori (C.L. Phillips, H.T. Nagle, Digital Control Systems Analysis and Design, Prentice-Hall, 1984) predlažu da se kod bilinearne transformacije koristi Tustinov oblik bilinearne transformacije:

      (4.4.14)

odnosno

      (4.4.15)

Izvede li se u ovom slučaju veza između v i ω dobije se:

      (4.4.16)

 

Za male vrijednosti perioda uzimanja uzoraka T, tangens je približno jednak kutu pa imamo v ≈ (2/T).(ωT/2), odnosno vω. To znači da sve veličine vezane uz pseudo-frekvenciju v u w ravnini za male vrijednosti perioda uzorkovanja T odgovaraju frekvencijama ω koje bismo dobili da smo se iz inverznom Z - transformacijom iz z ravnine vratili natrag u s ravninu. Na primjer crtamo frekvencijske dijagrame diskretnog sustava drugog reda i u w ravnini dobijemo rezonantno nadvišenje na nekoj pseudo-frekvenciji vR. Ukoliko je korištena bilinearna transformacija oblika (4.4.14) ta će pseudo-frekvencija brojčano približno odgovarati stvarnoj frekvenciji rezonantnog nadvišenja  ωR vR, a ukoliko je korištena bilinearna transformacija oblika (4.4.10) tada se stvarna frekvencija rezonantnog nadvišenja treba proračunati iz jednadžbe (4.4.13) izrazom ωR= (2/T).arctg (vR).

Ponekad se zbog toga i u nazivu pravi razlika, pa se transformacija tipa  (4.4.10) naziva Möbiusova bilinearna transformacija, a transformacija tipa  (4.4.14) Tustinova bilinearna transformacija.

U sljedećem poglavlju pokazati ćemo kako je teško računati frekvencijske dijagrame bez dobre CAD podrške. Simulacijski program VisSim koji koristimo u okviru ovog kolegija može crtati frekvencijske dijagrame, ali je prijenosne funkcije nužno zadati u w području, odnosno primijeniti bilinearnu transformaciju. Primjer u sljedećem poglavlju upravo to i ilustrira.