Vođeni sustav aproksimiramo prijenosnom funkcijom drugog reda s kašnjenjem

Cilj: Naučiti Dahlinovu sintezu kada se željeno ponašanje zatvorenog regulacijskog sustava aproksimira sustavom drugog reda s kašnjenjem.

Prijenosna funkcija drugog reda s kašnjenjem je model kojim aproksimiramo sustave koji imaju odziv od aperiodičkog do prigušeno oscilatornog. Karakteriziraju je četiri parametra – pojačanje, dvije vremenske konstante sustava i kašnjenje (u ovom ćemo se dijelu ograničiti samo na cjelobrojno kašnjenje L=MT):

       (5.2.37)

Ekvivalentna impulsna prijenosna funkcija sustava je

         (5.2.38)

a impulsna prijenosna funkcija regulatora

   (5.2.39)

Uobičajeno je da se željeno kašnjenje NT izjednači sa stvarnim kašnjenjem MT, pa se u brojniku eliminira potencija z-N+M.

Primjer:

Chiu i suradnici (K-C. Chiu, A.B. Corripio, C.L. Smith, Digital Control Algorithms, Part1. Dahlin Algorithm, Inst. & Control Systems, pp. 57-59, Oct. 1973) su u citiranom radu napisali da se isti egzotermički reaktor iz prethodnog primjera može aproksimirati i prijenosnom funkcijom drugog reda:

Za λ=0.5 impulsna prijenosna funkcija regulatora je:

Slika 5.2.23 prikazuje odziv sustava i upravljačku veličinu.

Slika 5.2.23. Odziv sustava uz primjenu Dahlinovog regulatora u slučaju modeliranja sustava prijenosnom funkcijom drugog reda za λ=0.5 (sinteza-Dahlin3.vsm)

Očito je da su treptaji upravljačkog signala još izraženiji, a amplitude upravljačkog signala jako velike, pa je ovaj način vođenja praktički neprimjenjiv. Neprimjenjiv bi vjerojatno bio i zbog toga što zahtijeva jako velike negativne vrijednosti  upravljačke varijable - protoka. Prisjetimo se, vrijednosti upravljačke varijable na slici su promjene u odnosu na stacionarno stanje kod kojeg se u reaktoru održava temperatura od 900C. Taj stacionarni protok ovisi o količini topline koju kemijska reakcija u reaktoru oslobađa i sigurno nije 30.000 l/min. Zbog toga zahtjev da se protok smanji za 30.000 l/min je nerealan. Zahtijevao bi negativnu vrijednost protoka, a to fizički nije moguće. Protok vode za hlađenje se može mijenjati samo između nule i neke maksimalne pozitivne vrijednosti.

Dahlin je i za ovaj slučaj predložio ublažavanje treptaja upravljačke veličine zamjenom polova na lijevoj strani realne osi z ravnine konstantama.

Polovi na negativnom dijelu realne z osi eliminiraju se u nazivniku zamjenom varijable z vrijednošću 1, ali se prije toga izluči pol u točki z=1. Za gornji primjer i N=M=1 nazivnik impulsne prijenosne funkcije regulatora glasi:

  (5.2.40)

pa ga zamjenjujemo faktorom

  (5.2.41)

pa impulsna prijenosna funkcija regulatora glasi:

   (5.2.42)

Za neki drugi N polinom (N+1)-og reda zamijeni se koeficijentom  , pa impulsna prijenosna funkcija regulatora uz pretpostavku N=M glasi:

   (5.2.43)

Primjer: 

Pokušajmo eliminirati treptanje upravljačke varijable u gornjem primjeru. Impulsna prijenosna funkcija regulatora glasi:

Slika 5.2.24 prikazuje odziv sustava i upravljačku veličinu.

Slika 5.2.24. Rezultati primjene Dahlinovog regulatora kod kojeg je ispravljena pojava treptanja za λ=0.5 (sinteza-Dahlin4.vsm)

 

Kako je još uvijek u upotrebi veliki broj regulatora PI i PID tipa, Chiu i suradnici su predložili postupak podešavanja ovih regulatora koristeći Dahlinov način proračuna impulsne prijenosne funkcije regulatora, o čemu ćemo govoriti u sljedećem poglavlju.