5.2.3. Postupak temeljen na definiranju željenog odziva zatvorenog regulacijskog sustava u diskretnim trenucima vremena

I ovaj postupak ima istu polaznu jednadžbu kojom definiramo impulsnu prijenosnu funkciju regulatora u ovisnosti o impulsnoj prijenosnoj funkciji ekvivalentnog sustava koji se vodi i željenoj impulsnoj prijenosnoj funkciji zatvorenog sustava

    (5.2.52)

Razlika je jedino u tome što Y(z)/R(z) direktno definiramo u z području i vežemo s odzivom sustava u diskretnim trenucima vremena. Kako se zahtijeva da odziv sustava u konačnom broju diskretnih trenutaka dođe do stacionarne vrijednosti postupak je poznat po nazivu vođenje s konačnim vremenom smirivanja (eng. Finite Settling Time Control). Ukoliko se do stacionarne vrijednosti dođe u najmanjem mogućem broju diskretnih koraka regulator se zove 'deadbeat' regulator i njega posebno analiziramo u sljedećem poglavlju.  

Proračun impulsne prijenosne funkcije regulatora po jednadžbi (5.2.52) ne može biti potpuno proizvoljan. Postoje određena ograničenja i zahtjevi koje moramo ispuniti.

Dva osnovna zahtjeva su da diskretni regulator bude takav da vođeni sustav bude stabilan, a da regulator bude izvediv.

Uvjet stabilnosti povlači zahtjev da se impulsnom prijenosnom funkcijom regulatora G_C(z) ne smiju poništavati nestabilne nule sustava koje su izvan jedinične kružnice. Uvijek postoji pogreška modeliranja , pa nule nikada nisu točno tamo gdje smo proračunali da se one nalaze. Pretpostavimo da je nula sustava u točki n koja je izvan jedinične kružnice i da je pogreška modeliranja ε. Impulsna prijenosna funkcija regulatora glasi:

    (5.2.53)

što nakon povratka u diskretno vremensko područje daje:

      (5.2.54)

Izraz postaje beskonačan kada k teži u beskonačno bez obzira koliko je mala pogreška modeliranja ε, što kao posljedicu ima i beskonačnu vrijednost upravljačkog signala i na kraju nestabilni sustav.

Uvjet izvedivosti postavlja ograničenja i na izbor Y(z)/R(z). Red brojnika impulsne prijenosne funkcije regulatora ne može biti veći od reda nazivnika, pa na primjer u slučaju da je vođeni sustav G_E(z) drugog reda bez nula ne može zahtijevati da željeni odziv Y(z)/R(z) bude prvog reda. Rezultat bi bio regulator samo s jednom nulom što je fizički neizvedivo. Pogledajmo ovu situaciju još općenitije.

Podijelimo li brojnik i nazivnik željenog odziva Y(z)/R(z) u općem slučaju dobijemo slijed

      (5.2.55)

gdje je k razlika između broja polova i broja nula željenog odziva. Na sličan način možemo prikazati i impulsnu prijenosnu funkciju sustava koji se vodi

           (5.2.56)

Uvrstimo li oba izraza u (5.2.52) dobijemo:

   (5.2.57)

Da bi regulator bio izvediv k treba biti veći ili jednak od n.

Uvjetu izvedivosti vratiti ćemo se ponovo nakon analize ograničenja koja na izbor Y(z)/R(z) može postaviti zahtjev za eliminiranjem pogreški ustaljenog stanja.

Pogreška se u z području računa izrazom

      (5.2.58)

Pogreške ustaljenog stanja ovise o dovedenoj pobudi koja je u općem slučaju u z području oblika:

      (5.2.59)

A(z) je polinom varijable z koji ovisi o vrsti pobude. Za skokovitu pobudu (pogreška ustaljenog stanja pomaka) koeficijent m = 1 i A(z) = 1. Za jediničnu pravčastu uzlaznu pobudu (pogreška ustaljenog stanja brzine) m = 2 , a A(z) = Tz^-1 itd.

Pogreška ustaljenog stanja m-tog reda biti će eliminirana ukoliko se  Y(z)/R(z) izabere u obliku:

      (5.2.60)

gdje je F(z) polinom od varijable z.

Vratimo se sada ponovo na uvjet izvedivosti. Komentirajući impulsnu prijenosnu funkciju regulatora (5.2.57) kazali smo da treba biti k ≥ n. To određuje i ograničava izbor polinoma F(z).