5.2.3.2. Kalmanov algoritam

Kalman je 1954. godine (R.E. Kalman, diskusija na članak A.R. Bergen, J.R. Ragazzini, Sampled-Data Processing Technique for Feedback Control Systems, Trans. AIEE, Nov. 1954, pp. 236-247) predložio algoritam s konačnim vremenom dolaska izlazne veličine do krajnje vrijednosti, kod kojeg se postavljaju ograničenja na promjenu upravljačke veličine. Polazna jednadžba je ponovo jednadžba za proračun diskretnog regulatora:

    (5.2.61)

Željeni odziv zatvorenog regulacijskog sustava na pobudu jediničnog skoka Kalman zadaje u diskretnom području definirajući željeni slijed promjene izlaznog signala i željeni slijed promjene upravljačkog signala. Pri tome, broj diskretnih trenutaka u kojima će izlazna veličina doći do konačne vrijednosti nije potpuno proizvoljan. I ovdje vrijede ograničenja izvedivosti koja smo prije spominjali. Prevedemo li ih na zahtjeve Kalmanovog algoritma, broj diskretnih trenutaka vremena u kojima izlazna veličina može doći do konačne vrijednosti treba biti najmanje jednak razlici broja polova i nula sustava koji se vodi.

Kalmanov postupak ćemo ilustrirati na primjeru dolaska do konačne vrijednosti izlazne veličine u dva diskretna trenutka vremena. Slika 5.2.30 prikazuje slijed izlaznog signala i njemu pridruženog upravljačkog signala.

Slika 5.2.30. Željeni slijed izlaznog i upravljačkog signala

Izlazni i upravljački signal možemo pisati u obliku beskonačnog reda negativnih potencija varijable z:

      (5.2.70)

   (5.2.71)

Ulazni, referentni signal je jedinični skok kojeg u z području prikazujemo izrazom:

      (5.2.72)

Uvedimo dvije razlomljene racionalne funkcije i definirajmo ih kvocijentima

      (5.2.73)

      (5.2.74)

Podijelimo P(z) sa Q(z):

      (5.2.75)

i sve uvrstimo u jednadžbu (5.2.61):

    (5.2.76)

gdje su:

     (5.2.77)

koeficijenti koje određujemo iz ekvivalentne impulsne prijenosne funkcije sustava koji se vodi

      (5.2.78)

jednostavnom usporedbom koeficijenata uz iste potencije brojnika i nazivnika.

Pri tome prema (5.2.77) treba vrijediti:

        (5.2.79)

 

Treba naglasiti da su ovo vrijednosti regulatora za skokovitu ulaznu pobudu. Ukoliko sustav ima vremensko kašnjenje L, tada se željeni odziv treba pomaknuti na cijeli dio kvocijenta kašnjenja i perioda uzorkovanja M=cijeli dio(L/T).

Pogledajmo primjere za dva tipična sustava kojim obično modeliramo realne sustave:

-  sustav prvog reda s kašnjenjem

-  sustav drugog reda s kašnjenjem

.: Sljedeća stranica > Vođeni sustav aproksimiramo prijenosnom funkcijom prvog reda s kašnjenjem