4.5. Geometrijsko mjesto korijena diskretnih sustava
Geometrijsko mjesto korijena je hodograf polova prijenosne funkcije zatvorenog regulacijskog kruga za promjenu pojačanja sustava od 0 do beskonačno. Identična se definicija odnosi i na diskretne sustave. Pretpostavimo da imamo u z području opisan regulacijski sustav s negativnom povratnom vezom prikazan slikom 4.5.1.
Slika 4.5.1. Diskretni regulacijski sustav
K je konstanta pojačanja. Impulsna prijenosna funkcija zatvorene petlje je
(4.5.1)
Geometrijsko mjesto korijena daje vrijednosti polova impulsne prijenosne funkcije GZ(z) za promjenu 0≤K≤∞. Crta se na isti način kao kod kontinuiranih sustava. U z ravnini ucrtaju se polovi i nule impulsne prijenosne funkcije otvorene petlje G(z), primjene se odgovarajuća pravila crtanja i dobije se geometrijsko mjesto korijena impulsne prijenosne funkcije (4.5.1). Naravno da će oblici GMK kod diskretnih sustava biti različiti od tipičnih oblika GMK kontinuiranih sustava, a vezano s tim i izvedeni zaključci će biti drugačiji - na primjer zaključak o stabilnosti. Kod kontinuiranih sustava sustav je bio stabilan za sve vrijednosti pojačanja K za koje je GMK na lijevoj strani s ravnine. Kod diskretnih sustava biti će stabilan za sve vrijednosti pojačanja K za koje su polovi unutar jedinične kružnice.
Pogledajmo primjer.
Primjer:
Neka je 
Nacrtaj GMK na duži način tako da se riješi karakteristična jednadžba.
Impulsna prijenosna funkcija zatvorenog sustava je
pa je karakteristična jednadžba z2-z+K=0, a njena rješenja
Polovi će biti realni za K≤1/4.Za K>1/4 polovi postaju konjugirano kompleksni
znači uvijek imaju istu realnu vrijednost 0.5 i za za K →∞ teže u beskonačnost prema vrijednosti 0.5±j∞.
Slika 4.5.2 prikazuje geometrijsko mjesto korijena ovog primjera. GMK izlazi izvan jediničnog kruga za pojačanje K veće od 1.
Slika 4.5.2. Geometrijsko mjesto korijena sustava impulsne prijenosne funkcije otvorene petlje G(z)=1/z(z-1)
Napomena: Sustav impulsne prijenosne funkcije G(z) = 1/(z(z-1)) ima jedan pol u točki z = 1 i jedan pol u točki z = 0, pa bi njemu odgovarao kontinuirani sustav čija prijenosna funkcija G(s) ima jedan pol u točki s = 0 i jedan pol u točki s = - ∞, što nije realna prijenosna funkcija i realan kontinuirani sustav drugog reda. Da impulsna prijenosna funkcija G(z) nije imala pol u točki z = 0 već na primjer u točki z = 0.5 (G(z) = 1/((z-0.5)(z-1)), onda bi se radilo o realnom kontinuiranom sustavu 2 reda s polovima u točkama s = 0 i s = (ln (0.5))/T). Vratimo se međutim na situaciju impulsne prijenosne funkcije G(z) = 1/(z(z-1)) i promotrimo je kao serijski spoj dvije impulsne prijenosne funkcije G(z) = (1/z) . (1/(z-1)). Drugi dio (1/(z-1)) odgovara čistom integratoru prijenosne funkcije (1/s) a prvi dio je u biti sklop za kašnjenje 1/z = z-1. Znači ukoliko na ulaz sustava impulsne prijenosne funkcije G(z) = 1/(z(z-1)) dovedemo neki ulazni signal on će najprije biti zakašnjen za 1 diskretni trenutak, a nakon toga propušten kroz integrator. Slika prikazuje primjer kod kojeg smo isti skokoviti signal doveli na ulaz sustava G(z) = 1/(z(z-1)) i sustava G(z) = 1/(z-1) za T = 1. Odzivi oba sustava su isti s tim da kod sustava G(z) = 1/(z(z-1)) odziv kasni jedan diskretni trenutak vremena, pa je i sustav impulsne prijenosne funkcije G(z) = 1/(z(z-1)) također realni sustav iako nema odgovarajuću realni prijenosnu funkciju G(s).
U nastavku ćemo ukratko ponoviti osnovna pravila za crtanje GMK, a nakon toga pokazati kako se GMK može crtati pomoću simulacijskog programa VisSim.
Pravila za crtanje GMK
Neka je G(z) impulsne prijenosne funkcije otvorene petlje koja ima n polova i m nula:
(4.5.5)
Geometrijsko mjesto korijena (GMK) crta se korištenjem sljedećih pravila:
1. GMK ima n grana. Grane GMK su simetrične u odnosu na realnu os.
2. Grane počinju (K=0) u polovima impulsne prijenosne funkcije otvorene petlje i završavaju (K →∞) u nulama impulsne prijenosne funkcije otvorene petlje ili ukoliko ima više polova od nula, preostale grane koje ne završavaju u nulama završavaju u beskonačnosti.
3. Segmenti na realnoj osi koji leže lijevo od neparnog broja nula i/ili polova pripadaju GMK.
4. Grane koje ne završavaju u nulama asimptotski teže u beskonačnost. Asimptota ima P-N i sve sijeku realnu os u točki koja se naziva centroid i računa jednadžbom
(4.5.3)
Asimptote s realnom osi zatvaraju kutove
(4.5.4)
5. Točka u kojoj GMK napušta realnu os naziva se točka izlaznog loma i računa se kao ekstrem funkcije K(z) = -1/G(z) koji leži na GMK i računaju se iz jednadžbe:
(4.5.4)
6. Pojačanje K u bilo kojoj točki zo GMK računa se izrazom
(4.5.5)
Jednadžba (4.5.5) naziva se jednadžba modula.
7. Svaka točka zo na GMK zadovoljava i jednadžbu argumenta koja kaže da je razlika između sume argumenata vektora povučenih iz svih nula od G(z) prema točki zo i sume argumenata vektora povučenih iz svih polova od G(z) prema točki zo jednaka 180o+k360o gdje k može biti 0,1, 2,...
8. Vrijednost kritičnog pojačanja KKR i kružne frekvencije neprigušenih oscilacija ωnkoje odgovaraju točki u kojoj GMK presijeca jediničnu kružnicu i prelazi u područje nestabilnosti određuju se iz karakteristične jednadžbe 1+KG(z)=0 zamjenom z=e-jωTizjednačenjem realnog i imaginarnog dijela s nulom.
Pogledajmo primjenu pravila na jednom primjeru:
Primjer:
Nacrtaj GMK sustava sa slike 4.4.9 za T = Tm = 1 (za njega smo crtali i Nyquistove dijagrame). Impulsna prijenosna funkcija ekvivalentnog sustava je:
1. GMK ima 2 grane.
2. Grane polaze iz polova z=1 i z=0.368 i završavaju jedna u nuli z=-0.717 a druga u beskonačnosti.
3. Na realnoj osi GMK leži između točaka z=1 i z=0.368, te lijevo od točke z=-0.717.
4. Postoji jedna asimptota pod kutom od - 180o, pa centroid nema smisla.
5. Točka u kojoj GMK napušta realnu os računa se iz jednadžbe
koja nakon derivacije daje jednadžbu
Rješenja jednadžbe su z1 = 0.648 i z2 = -2.082. Obje točke leže na GMK s tim da će z1 = 0.648 biti točka izlaznog loma, a z2 = -2.082 točka ulaznog loma.
9. Pojačanje za koje GMK presijeca jediničnu kružnicu računa se iz karakteristične jednadžbe
uz zamjenu 
:
iz čega dobijemo dvije jednadžbe izjednačavajući realni
i imaginarni dio s nulom. Rješenje je KKR = 2.39 i 
. Kako je T = 1 
.
Točke u kojima GMK siječe jediničnu kružnicu su 
Provjerimo KKR koristeći jednadžbu modula:
iz čega slijedi
(Napomena: Vrijednost K=2.392 dobili smo i korištenjem Nyquistovih dijagrama. Za vježbu provjerite ove vrijednosti koristeći i Juryjev test stabilnosti).
I na kraju možemo skicirati GMK. Mi ćemo ipak u crtanju koristiti VisSim. Slično kao i kod bilinearne transformacije impulsna prijenosna funkcija se zadaje kao kontinuirana pazeći da sve predznake dobro unesemo. To što na dijagramu piše varijabla s umjesto z nam ne smeta. Bitno je da znamo što smo zadali. Slika 4.5.3 prikazuje VisSim model i dobiveni GMK.
Slika 4.5.3. GMK iz prethodnog primjera za impulsnu prijenosnu funkciju otvorene petlje G(z)=(z+0.717)/(z-1)(z-0.368) (gmk_1.vsm)
Napomena uz sliku: Prije svega treba primijetiti da GMK na slici ne završava u nulama impulsne prijenosne funkcije otvorene petlje (jedna od nula je u točki -0.717, pa bi desna grana GMK trebala završiti u toj točki). Razlog je taj što se u VisSimu GMK računa za promjenu pojačanja od nule do neke maksimalne vrijednosti. Za primjer sa slike maksimalno pojačanje je bilo 100. Povećavanjem vrijednosti maksimalnog pojačanja točke poniranja GMK se približavaju nulama impulsne prijenosne funkcije otvorene petlje.
Na slici se vidi i pojačanje u točki izlaznog loma. Pri tome se ne smije zaboraviti da je očitana vrijednost 0.368K = 0.072, pa je stvarna vrijednost pojačanja K=0.072/0.368=0.196. (Napomena:Provjerite to analitički pomoću jednadžbe modula).
Nedostatak VisSima je što ne ucrtava jediničnu kružnicu, pa je do kritičnog pojačanja teže doći. Slika bi bila potpuna i puno jasnija uz jediničnu kružnicu. Ucrtamo li je u programu za crtanje dobiti ćemo sliku 4.5.4.
Slika 4.5.4. GMK iz prethodnog primjera s ucrtanom jediničnom kružnicom
Markeri na slici odgovaraju koraku povećanja pojačanja za približno 0.4. GMK presijeca jediničnu kružnicu malo iznad drugog markera iz čega slijedi da će približno biti 0.368.K≈0.9 iz čega slijedi da je K≈2.4, znači približno koliko smo dobili i računski.
Na gornjem dijelu slike 4.5.3 je blok koji smo formirali da bi mogli nacrtati GMK. Vrijednosti odgovaraju impulsnoj prijenosnoj funkciji iako piše s a ne z. To trebamo zanemariti, GMK se dobro crta. Prikaz izlaznog signala otvorenog sustava nam nije bitan, ali ga VisSim zahtjeva da bi mogao nacrtati GMK.
Kazali smo da je zatvoreni diskretni regulacijski sustav nestabilan za one vrijednosti pojačanja K za koje GMK izlazi izvan jedinične kružnice. A što je s polovima unutar jedinične kružnice? Njihov se položaj obično vezuje sa stupnjem prigušenja ζ i frekvencijom neprigušenih oscilacija ωn. Položaj kompleksnih polovi unutar jedinične kružnice koji imaju konstantni ζ i konstantan ωn prikazan je na slici 4.5.5. ωnje iskazan kao funkcija kružne frekvencije uzimanja uzoraka ωS .
Superponiramo li ove krivulje na GMK za svako pojačanje K možemo ustanoviti koliki je stupanj prigušenja i frekvencija neprigušenih oscilacija, a iz njih možemo proračunati sve značajke vremenskog odziva (vidi Definicije – Specifikacija odziva u vremenskoj domeni)
Slika 4.5.5. Krivulje konstantnog stupnja prigušenja ζ i frekvencije neprigušenih oscilacija ωn iskazane kao funkcija kružne frekvencije uzimanja uzoraka ωS nacrtane unutar jedinične kružnice
Povežimo krivulje konstantnog stupnja prigušenja ζ i frekvencije neprigušenih oscilacija ωn
Primjer:
Superponiramo li dio GMK iz prethodnog primjera na krivulje konstantnog stupnja prigušenja ζ i frekvencije neprigušenih oscilacija ωn dobiti ćemo sliku 4.5.6. Korak pojačanja između markera je oko 0.1.
Slika 4.5.6. GMK iz prethodnog primjera superponiran na krivulje konstantnog stupnja prigušenja ζ i frekvencije neprigušenih oscilacija ωn unutar jedinične kružnice
Za zaokruženi pol pojačanje K je otprilike 1.1, stupanj prigušenja ζ oko 0.25 i frekvencija neprigušenih oscilacija ωn= 3ωS/20 = 3π/10 = 0.942rad/s iz čega slijedi da je frekvencija prigušenih oscilacija ωp= ωn(1 - ζ2)1/2=0.912 rad/s i period prigušenih oscilacija Ts oko 6.9 sekundi. Da je to tako pokazuje i VisSim simulacija odziva prikazana na slici 4.5.7.
Slika 4.5.7. GMK iz prethodnog primjera superponiran na krivulje konstantnog stupnja prigušenja ζ i frekvencijom neprigušenih oscilacija ωn unutar jedinične kružnice