4.7.2.  Lyapunov teorem stabilnosti

Godine 1892. A.M. Lyapunov, profesor matematike u Harkovu, predložio je dvije metode za određivanje stabilnosti dinamičkih sustava opisanih diferencijalnim jednadžbama. Metoda vrijedi i za linearne i za nelinearne sustave, i za jednoveličinske i za viševeličinske sustave.

Druga metoda poznata pod imenom direktna metoda Lyapunova je pogodnija zato što ne zahtjeva poznavanje karakterističnih vrijednosti sustava. Iako ju je Lyapunov donio za kontinuirane sustave lako se prilagodi i diskretnim sustavima. Ali pogledajmo najprije što je općenito o stabilnosti Lyapunov kazao.

Neka je sustav zadan opisom varijabli stanja općeg oblika

     (4.7.3)

Za opću analizu stabilnosti bitna je prva jednadžba ali po Lyapunovu potrebno je uključiti i vanjsku pobudu. S druge strane kod definicije asimptotske stabilnosti koja ovisi samo o karakteristikama sustava pobude nema. Zanima nas stabilnost sustava opisanog jednadžbom stanja bez pobude (eng. Unforced State Equation)

       (4.7.4)

To međutim ne znači da pobude stvarno nema, samo uključuje zahtjev da pod utjecajem konstantne pobude u(t)=U sustav dođe u ravnotežno stanje x_r u kojemu nema promjene , pa možemo to ravnotežno stanje promatrati kao novo stanje mirovanja oko kojeg analiziramo asimptotsku stabilnost. Drugim riječima zanima nas da li će se sustav forsirano pomaknut iz tog ravnotežnog stanja uz nepromijenjenu pobudu opet vratiti u njega. 

Pogledajmo to na primjeru diskretnih sustava. Krećemo od

          (4.7.5)

U ravnotežnom stanju i uz konstantnu pobudu vrijedi

          (4.7.6)

pa je uz pretpostavku nesingularne matrice  ravnotežno stanje koje zadovoljava jednadžbu  (4.7.6):

          (4.7.7)

Linearni sustavi imaju jedno ravnotežno stanje, a nelinearni ih mogu imati više. Jednadžbu (4.7.5) prebacujemo u oblik bez pobude supstitucijom

          (4.7.8)

pa je njen homogeni oblik bez pobude

          (4.7.9)

Da ne bi pravili zabunu pisanjem u nastavku ćemo umjesto w zadržati stari način označavanja varijabli stanja slovom x.  Važno je znati na što se odnosi.

          (4.7.10)

Važno je znati na što se odnosi, da li smo oko ravnotežnog stanja ili oko 0.

Sustav ostaje u ravnotežnom stanju beskonačno dugo ukoliko se ništa ne mijenja, pobuda se nije mijenjala i nema nikakvih poremećaja. Ukoliko se zbog bilo kojeg razloga pomakne, varijable stanja će se u prostoru stanja kretati po određenoj putanji x(kT). O obliku te putanje ovisi stabilnost ili nestabilnost ravnotežnog stanja, odnosno stabilnost ili nestabilnost diskretnog sustava čiji je to opis varijablama stanja.

Stabilnost u smislu Lyapunova promatra se u prostoru stanja, i to u okolini  ravnotežnog stanja kojeg definira simetrično područje P(R). Za bilo koju točku x_R =(x_1R, x_2R ,…, x_nR)  na rubu tog područja vrijedi

  (4.7.11)

pa je područje R za sustav drugog reda (n=2) krug, za sustav trećeg reda (n=3) kugla, za sustav četvrtog reda (n=4) hipersfera itd. Izraz na desnoj strani naziva se Euklidska norma.

Definirajmo  unutar hipersfere dvije manja hipersfere radijusa  i   , i to tako da vrijedi . Sada možemo definirati stabilnost u smislu Lyapunova:

Sustav je stabilan onda i samo onda ukoliko za svaki   postoji  takav da svaka trajektorija koja je počela iz točke x₀  unutar hipersfere određene radijusom završi za  unutar hipersfere određene radijusom :

          (4.7.12)

Stabilnost po Lyapunovu za sustav drugog reda ilustrira slika 4.7.1.

Slika 4.7.1. Ilustracija pojma stabilnosti po Lyapunovu

Sustav  je iz ravnotežnog stanja  x_R pomaknut u točku x₀ unutar područja definiranog radijusom . Ukoliko on nakon toga cijelo vrijeme ostane unutar cilindra radijusa  možemo kazati da je sustav stabilan. Trajektorija stabilnog sustava označena je slovom a. Ukoliko se ne može definirati područje radijusa  sustav je nestabilan (trajektorija b). Slika prikazuje i treći poseban slučaj asimptotski stabilnog sustava (trajektorija c).

 Sustav je asimptotski stabilan ukoliko je stabilan i može se izabrati takav  da za ravnotežno stanje x_r

          (4.7.13)

Ukoliko bismo htjeli biti u skladu s definicijom asimptotske stabilnosti danom u poglavlju 4.1 ravnotežno bi stanje trebalo biti nula, zato što sustav treba biti bez vanjske pobude.

Ovo je bila opća definicija stabilnosti. Praktično je računamo preko funkcije Lyapunova V(x), koja se za diskretni sustav

     (4.7.14)

definira tako da zadovoljava tri uvjeta:

1. V(x) je kontinuirana funkcija od x za koju je  V(0) = 0.

2. V(x) je pozitivno definitna.

3.   je negativno definitna.

Napomena: Za definicije definitnosti pogledajte Definicije – Neki pojmovi iz matrične algebra.

Funkciju Lyapunova možemo promatrati kao mjeru udaljenosti od ishodišta u prostoru stanja, pa treći uvjet zahtjeva da se u svakom sljedećem trenutku približavamo ishodištu.

Sustav je asimptotski stabilan ukoliko se može pronaći funkcija Lyapunova koja zadovoljava ove uvjete.

Kod linearnih sustava opisanih jednadžbom

          (4.7.15)

funkcija Lyapunova se definira kao

                             (4.7.16)

Iz trećeg uvjeta dalje slijedi

          (4.7.17)

 treba biti negativno definitna što možemo napisati

          (4.7.18)

gdje je   pozitivno definitna matrica.

Nužan i dovoljan uvjet da V(x) bude funkcija Lyapunova je da postoji pozitivno definitna matrica P koja zadovoljava jednadžbu

          (4.7.19)

gdje je Q pozitivno definitna matrica.

Najjednostavnija pozitivno definitna matrica je jedinična matrica I. Pogledajmo primjer:

 

Kod opisa diskretnog sustava varijablama stanja važna su i tri svojstva koja kod opisa impulsnom prijenosnom funkcijom ne susrećemo: upravljivost, dohvatljivost i osmotrivost o čemu govorimo u sljedećim poglavljima.

.: Sljedeća stranica > Upravljivost i dohvatljivost