Vođeni sustav aproksimiramo prijenosnom funkcijom prvog reda s kašnjenjem

Cilj: Naučiti postupak Dahlinovog projektiranja regulatora kod kojeg se željeno ponašanje zatvorenog sustava modelira prijenosnom funkcijom prvog reda s kašnjenjem.

U poglavlju o eksperimentalnom podešavanju PID regulatora postupkom reakcijske krivulje kazali smo da je prijenosna funkcija prvog reda s kašnjenjem model kojim možemo aproksimirati veliki broj realnih sustava. Karakteriziraju je tri parametra – pojačanje, vremenska konstanta sustava i kašnjenje:

       (5.2.23)

Da bi sustav vođenja bio fizički ostvariv konstanta N kod kašnjenja željenog modela treba biti najveća cjelobrojna vrijednost stvarnog kašnjenja sustava L.

Ekvivalentna impulsna prijenosna funkcija vođenog sustava je

     (5.2.24)

gdje je M cjelobrojni višekratnik omjera L/T.

Napomena: Zaokruživši kašnjenje kontinuiranog sustava na MT unosimo pogrešku koju bismo mogli ispraviti korištenjem modificirane Z - transformacije. U tom bi slučaju ekvivalentna impulsna prijenosna funkcija željenog sustava glasila

         (5.2.25)

i cijela kasnija sinteza bi se temeljila na njoj. Ne zaboravimo da je M cjelobrojni višekratnik omjera L/T. Međutim ukoliko je T dovoljno mali i aproksimacija (5.2.24) može dati zadovoljavajuće rezultate.

Uvrstimo li (5.2.24) u (5.2.22) dobijemo željenu impulsnu prijenosnu funkciju regulatora:

     (5.2.26)

a uvrstimo li (5.2.25) u (5.2.22) dobijemo

   (5.2.27)

 

Specijalni je slučaj kada i željeni model ponašanja zatvorenog sustava i vođeni sustav nemaju kašnjenje N=M=0. Jednadžba regulatora tada glasi:

     (5.2.28)

a kako je T sigurno manji od τ, nula regulatora će se nalaziti između točke z=1 i točke z=0. Prisjetimo li se poglavlja o regulatorima s faznim prethođenjem i kašnjenjem, u ovom slučaju je očito da se radi o regulatoru s faznim kašnjenjem, odnosno o regulatoru PI tipa.

Napomena: Dopustimo sebi malu digresiju i vratimo se u kontinuirano područje. I u njemu vrijedi izraz za proračun regulatora oblika:

       (5.2.29)

Neka željeno ponašanje sustava opisuje prijenosna funkcija

           (5.2.30)

i neka je sustav koji se vodi također prvog reda

       (5.2.31)

Regulator će imati oblik

       (5.2.32)

Očito je da se i ovdje radi o regulatoru PI tipa.

Ilustrirajmo postupak primjerom koji su opisali Chiu i suradnici 1973. godine u članku kojim objašnjavaju Dahlinov postupak (K-C. Chiu, A.B. Corripio, C.L. Smith, Digital Control Algorithms, Part1. Dahlin Algorithm, Inst. & Control Systems, pp. 57-59, Oct. 1973):

Primjer:

Slika 5.2.20 prikazuje sustav regulacije temperature egzotermičkog reaktora hlađenog vodom. Upravljana varijabla je temperatura u reaktoru, a upravljačka varijabla je protok rashladne vode. Pri nekoj stacionarnoj vrijednosti protoka u reaktoru se održava određena temperatura.

Slika 5.2.20. Egzotermički reaktor hlađen vodom

Promjeni li se protok skokovito i snimi se reakcijska krivulja, sustav hlađenja koji kao izlaznu varijablu ima temperaturu, a kao ulaznu varijablu protok hladne vode može se prikazati prijenosnom funkcijom prvog reda s kašnjenjem:

      

Napomena: Pojačanje je negativno zato što povećanje protoka smanjuje temperaturu. Jedinica vremena je u originalnom primjeru bila minuta pa ćemo je i ovdje zadržati i u odnosu na nju definirati period uzorkovanja.

Pogledajmo dva slučaja za λ=1 i λ=0.5. Neka je T=1 [minuta], a iz modela procesa očitavamo L=2.3, K=-0.0103 i τ=12.55. Period uzimanja uzoraka je usporediv s kašnjenjem procesa pa za proračun regulatora koristimo jednadžbu (5.2.27).

Za λ=1 rezultat je:

    

a za λ=0.5:

Slika 5.2.21 prikazuje odzive za oba slučaja i situaciju kada se temperatura koja se ustalila na vrijednosti 900C treba smanjiti na 800C u trenutku t=5 minuta. Kako sustav ima kašnjenje, odziv se počinje mijenjati tek nakon 2.3 minute. Prikazan je i upravljački signal za oba slučaja. Njegove vrijednosti su u stvari promjene protoka oko stacionarne vrijednosti kod koje je temperatura u reaktoru bila 900C. U stacionarnom stanju kada se temperatura ustalila na 800C, zahtjev je da se protok u odnosu na vrijednost koju je imao za 900C poveća za 970.87 l/min.

Slika 5.2.21. Rezultati primjene Dahlinovog regulatora za λ=1 i λ=0.5 (sinteza-Dahlin.vsm)

Odziv je (više ili manje) aperiodički, ali je najveći problem u upravljačkom signalu koji u  prijelaznom dijelu alternirajući mijenja vrijednosti u velikim skokovima, a i potrebne vrijednosti protoka su velike (u prvom diskretnom trenutku preko 7.000 l/min, a pitanje je da li se to s realnim veličinama cijevi može ostvariti. Više detalja o ovom problemu u sljedećem poglavlju: Treptanje (ili zvonjenje) upravljačkog signala. Na kraju napomenimo još i to da su za manji λ promjene upravljanja su manje, ali je i odziv sporiji.

 

Pojavu nagle promjene upravljačkog signala Englezi zovu ringing  što na hrvatski prevodimo treptanje ili zvonjenje. Ova pojava jako smeta primjeni ovakvog tipa diskretnog vođenja. Spomenuli smo je još kod metode postavljanja polova (slika 5.2.18) i zbog svoje ozbiljnosti zahtijeva detaljniju analizu.